Duas explosões ocorrem no referencial da Terra
ao longo do eixo
:
Evento 1:
;
Evento 2:
e
.
Um observador
move-se ao longo de
com velocidade constante
em relação à Terra. Desejase que, no referencial
, os dois eventos sejam simultâneos (
). Qual alternativa fornece corretamente o valor de
e a separação espacial
entre os eventos em
?
(Use
.)
a)
e
.
b)
e
.
c)
e
.
d)
e
.
Evento 1:
Evento 2:
Um observador
(Use
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá dois eventos no referencial da Terra
:
- Evento 1:
e . - Evento 2:
e .
O que se pede:
- Determinar a velocidade
do referencial (que se move ao longo de em relação a ) tal que os dois eventos sejam simultâneos em , isto é . - Calcular a separação espacial
entre os eventos em .
Constante dada:
.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (apresentação e explicação didática):
- As transformações de Lorentz entre
e (movendo-se com velocidade positiva ao longo de ) relacionam tempos e posições por
onde:
-
é o fator de Lorentz definido por . -
são tempo e posição no referencial . -
são tempo e posição no referencial . -
é a velocidade relativa de em relação a (positiva se se move no sentido ).
Explicação do que cada termo faz: - O termo
na transformação do tempo mostra que dois eventos que são simultâneos em podem não ser em e vice-versa — simultaneidade é relativa. - O fator
corrige dilatação de tempo/contração de comprimento quando é significativo diante de .
Para dois eventos quaisquer, a diferença de tempos transformada é
com
e
. Se queremos
, basta exigir o conteúdo entre parênteses igual a zero (já que
):
Isto é uma fórmula direta e simples: a velocidade do referencial em que os eventos são simultâneos é dada por
. (Bom ponto: o sinal de
depende de sinais de
e
.)
Passo 3
Aplicar a fórmula aos números dados (mostrando as contas passo a passo):
- Calcular os incrementos no referencial
:
- Usar
.
Agora
Dividindo:
Expressão em fração de
:
ou seja
. O sinal positivo indica que o referencial
precisa mover-se no sentido
, consistente com o enunciado.
Passo 4
Agora calculamos a separação espacial
entre os eventos em
.
- Fórmula para diferença espacial:
Primeiro calculamos
:
Em seguida calculamos
para
. Definindo
,
Numericamente,
Logo
Arredondando de modo compatível com as alternativas:
Passo 5
Interpretação rápida e checagem: com
o termo
subtrai
de
, ficando
; a fator
amplia isso para
. Em
os dois eventos ocorrem ao mesmo tempo (
) e separados espacialmente por cerca de
. Isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
a)
e