Duas explosões ocorrem no referencial da Terra { }^{S} ao longo do eixo { }^{x} :
Evento 1: x_{1}=0 \mathrm{e} t_{1}=0;
Evento 2: x_{2}=600 \mathrm{~m} e t_{2}=1,0 \mu \mathrm{~s}.
Um observador S^{\prime} move-se ao longo de { }^{+x} com velocidade constante { }^{v} em relação à Terra. Desejase que, no referencial S^{\prime}, os dois eventos sejam simultâneos ( \Delta t^{\prime}=0 ). Qual alternativa fornece corretamente o valor de { }^{v} e a separação espacial \Delta x^{\prime} entre os eventos em S^{S^{\prime}} ?
(Use { }^{c=3,0 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}}.)
a) v=+0,50 c e \Delta x^{\prime} \approx 5,2 \times 10^{2} \mathrm{~m}.
b) v=+0,50 c e \Delta x^{\prime} \approx 7,0 \times 10^{2} \mathrm{~m}.
c) v=+0,33 c e \Delta x^{\prime} \approx 6,0 \times 10^{2} \mathrm{~m}.
d) v=-0,50 c e \Delta x^{\prime} \approx 5,2 \times 10^{2} \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá dois eventos no referencial da Terra S:
  • Evento 1: x_1=0 e t_1=0.
  • Evento 2: x_2=600\\ \mathrm{m} e t_2=1{,}0\\ \mu\mathrm{s}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.
O que se pede:
  • Determinar a velocidade v do referencial S' (que se move ao longo de +x em relação a S) tal que os dois eventos sejam simultâneos em S', isto é \Delta t' = 0.
  • Calcular a separação espacial \Delta x' entre os eventos em S'.
Constante dada: c=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (apresentação e explicação didática):
  • As transformações de Lorentz entre S e S' (movendo-se S' com velocidade v positiva ao longo de +x) relacionam tempos e posições por
t'=\gamma\!\left(t-\dfrac{v\,x}{c^{2}}\right), \qquad x'=\gamma\!\left(x-v\,t\right),
onde:
  • \gamma é o fator de Lorentz definido por \displaystyle \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
  • t,x são tempo e posição no referencial S.
  • t',x' são tempo e posição no referencial S'.
  • v é a velocidade relativa de S' em relação a S (positiva se S' se move no sentido +x).
    Explicação do que cada termo faz:
  • O termo -\dfrac{v x}{c^{2}} na transformação do tempo mostra que dois eventos que são simultâneos em S podem não ser em S' e vice-versa — simultaneidade é relativa.
  • O fator \gamma corrige dilatação de tempo/contração de comprimento quando v é significativo diante de c.
Para dois eventos quaisquer, a diferença de tempos transformada é
\Delta t'=\gamma\!\left(\Delta t-\dfrac{v\,\Delta x}{c^{2}}\right),
com \Delta t=t_2-t_1 e \Delta x=x_2-x_1. Se queremos \Delta t'=0, basta exigir o conteúdo entre parênteses igual a zero (já que \gamma\neq0):
\Delta t-\dfrac{v\,\Delta x}{c^{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad v=\dfrac{c^{2}\,\Delta t}{\Delta x}.
Isto é uma fórmula direta e simples: a velocidade do referencial em que os eventos são simultâneos é dada por c^{2}\Delta t/\Delta x. (Bom ponto: o sinal de v depende de sinais de \Delta t e \Delta x.)

Passo 3

Aplicar a fórmula aos números dados (mostrando as contas passo a passo):
  • Calcular os incrementos no referencial S:
\Delta t=t_2-t_1=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}, \qquad \Delta x=x_2-x_1=600\\ \mathrm{m}.
  • Usar c^{2}=(3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s})^{2}=9{,}0\times10^{16}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora
v=\dfrac{c^{2}\,\Delta t}{\Delta x} =\dfrac{9{,}0\times10^{16}\times 1{,}0\times10^{-6}}{600} =\dfrac{9{,}0\times10^{10}}{600}.
Dividindo:
v=1{,}5\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Expressão em fração de c:
\beta\equiv\dfrac{v}{c}=\dfrac{1{,}5\times10^{8}}{3{,}0\times10^{8}}=0{,}50,
ou seja v=+0{,}50\,c. O sinal positivo indica que o referencial S' precisa mover-se no sentido +x, consistente com o enunciado.

Passo 4

Agora calculamos a separação espacial \Delta x' entre os eventos em S'.
  • Fórmula para diferença espacial:
\Delta x'=\gamma\!\left(\Delta x - v\,\Delta t\right).
Primeiro calculamos \Delta x - v\,\Delta t:
\Delta x - v\,\Delta t = 600 - (1{,}5\times10^{8}\times 1{,}0\times10^{-6})\\ \mathrm{m} =600 - 150\\ \mathrm{m}=450\\ \mathrm{m}.
Em seguida calculamos \gamma para v=0{,}50\,c. Definindo \beta=v/c=0{,}50,
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-(0{,}50)^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}25}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}75}}.
Numericamente,
\gamma\approx 1{,}1547005.
Logo
\Delta x'=\gamma\cdot 450\\ \mathrm{m}\approx 1{,}1547005\times 450\\ \mathrm{m}\approx 519{,}6\\ \mathrm{m}.
Arredondando de modo compatível com as alternativas:
\Delta x'\approx 5{,}2\times10^{2}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação rápida e checagem: com v=+0{,}50c o termo v\,\Delta t subtrai 150\\ \mathrm{m} de 600\\ \mathrm{m}, ficando 450\\ \mathrm{m}; a fator \gamma>1 amplia isso para \approx520\\ \mathrm{m}. Em S' os dois eventos ocorrem ao mesmo tempo ( \Delta t'=0) e separados espacialmente por cerca de 5,2\times10^{2}\\ \mathrm{m}. Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) v=+0{,}50\,c e \Delta x'\approx 5{,}2\times10^{2}\\ \mathrm{m}

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