O 2-propanol (1) e o vapor de água (2) estão condensando na superfície resfriada de um tubo vertical. O nitrogênio (3) também está presente na mistura de vapor alimentada ao condensador. Na temperatura e pressão no condensador, os coeficientes de difusão dos três pares são:
(a) Perto da saída do condensador, a composição na mistura de vapor é x_{1}=0,005 e x_{2}=0,003. Calcule a matriz de coeficientes de difusão multicomponentes nesta composição.
(b) Compare a matriz da letra (a) com a matriz de coeficientes de difusão multicomponentes quando x_{1} e x_{2} \rightarrow 0.
Passo 1
O enunciado dá os coeficientes binários de difusão (à temperatura e pressão do condensador) e pede a matriz de coeficientes de difusão multicomponentes para a composição próxima à saída. Dados fornecidos:
O que se pede:
(a) calcular a matriz de coeficientes de difusão multicomponentes nesta composição;
(b) comparar essa matriz com a matriz quando \;x_{1},x_{2}\to0.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (forma padrão derivada das equações de Stefan–Maxwell e usada para construir a forma equivalente de Fick para n espécies): escolher como variáveis independentes as espécies 1 e 2 (a espécie 3 é dependente). Definir a matriz A (que é a inversa da matriz de difusão que queremos) de dimensão 2\times2 com elementos
\mathbb{D}_{ij} é o coeficiente binário de difusão entre as espécies i e j (dado).
x_i é a fração molar da espécie i (dado).
A tem unidade de [\text{(mm}^2/\text{s)}^{-1}].
A matriz de difusão multicomponentes D (que aparece na forma de Fick generalizada J_i = -c_t\sum_j D_{ij}\nabla x_j) é a inversa de A:
D = A^{-1}.
Vou então construir A numericamente e depois calcular D invertendo a matriz 2\times2. (Para inverter uma 2\times2 simétrica A=\begin{pmatrix}a&b\\\ b&c\end{pmatrix} usa-se
Interpretação didática e verificação rápida: os valores foram obtidos usando a fórmula padrão que transforma os coeficientes binários \mathbb{D}_{ij} em uma matriz de difusão multicomponentes D através da construção da matriz A e sua inversão. A presença de elementos fora da diagonal pequenos e positivos indica um acoplamento fraco entre os gradientes de x_1 e x_2 na expression de fluxo na forma de Fick generalizada.
Passo 6
Comparação com o caso \;x_1,x_2\to0 (parte b). Vamos analisar o limite analiticamente:
Para x_1\to0 e x_2\to0 com x_3\to1, os elementos diagonais de A comportam-se como
enquanto os elementos fora da diagonal A_{12}=-1/\mathbb{D}_{12} permanecem finitos. Uma matriz A com diagonais tendendo ao infinito e entradas fora da diagonal finitas tem inversa que tende para a matriz nula. Portanto
Explicação física curta (intuitiva e útil para prova): a matriz D usada na forma J_i=-c_t\sum_j D_{ij}\nabla x_j multiplica gradientes de fração molar. Quando x_i é muito pequena, a construção matemática que levou a D (via A) dá entradas de D pequenas — isso reflete a escolha da variável mole fraction e o escalonamento que a formulação multicomponente impõe; em particular a forma matricial de Fick para um par de espécies independentes faz com que, no limite de diluição extrema, os elementos desta matriz tendam a zero. (Observação: isto é consistente com as fórmulas que usamos; não significa que não existe difusão dos traços — os coeficientes binários \mathbb{D}_{i3} continuam descrevendo a difusão relativa dos traços em relação ao gás majoritário, mas a forma matricial particular D aqui considerada escala com as frações molares.)]