Estime os coeficientes de difusão de Fick (Matriz \left[\mathrm{D}^{\circ}\right] ) no quadro de referência de velocidade média de massa para uma mistura contendo monóxido de carbono (1), hidrogênio (2), metano (3) e vapor de água (4) contidos em um reator tubular em um ponto onde as frações molares são:
x_{1}=0,05, x_{2}=0,75382 \text { e } x_{3}=0,09809
M_{1}=0,02801, M_{2}=0,002016, M_{3}=0,01604 e M_{4}=0,018015
Dica: Utilize a ferramenta do site abaixo para fazer o computo das matrizes inversas necessárias:
https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/algebra/matrices/
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei os números do enunciado).
Dados (frações molares e massas molares):
As frações molares são \,x_{1}=0,05, \,x_{2}=0,75382, \,x_{3}=0,09809.
Estimar a matriz de coeficientes de difusão de Fick no quadro de referência de velocidade média de massa, ou seja, montar a matriz \left[\mathrm{D}^{\circ}\right] (unidades \mathrm{m}^2/\mathrm{s}) para a mistura (componentes 1 a 4).
Observação: a resolução começa a partir do passo 2.
Passo 2
Ideia geral e fórmulas que vamos usar (aula rápida, passo a passo, sem pular etapas).
Maxwell–Stefan e matriz \mathbf{B}.
Para um gás ideal, as equações de Maxwell–Stefan podem ser rearranjadas para relacionar os gradientes de fração molar \nabla x com os fluxos molares de difusão \mathbf{J} (fluxos molares por unidade de área, definidos no mesmo referencial), na forma matricial (forma compacta usada em livros de transporte, por ex. Bird–Stewart–Lightfoot):
\mathbf{B}\,\mathbf{J} = -c_t\,\nabla \mathbf{x},
onde c_t é a concentração molar total (não precisamos do seu valor absoluto para obter a matriz de difusão), e \mathbf{B} é a matriz construída a partir das \mathbb{D}_{ij} e das frações molares x_i. Para montar \mathbf{B} usamos as fórmulas:
Para i\ne j:
B_{ij} = -\frac{x_i}{\mathbb{D}_{ij}}.
Para as diagonais:
B_{ii}=\sum_{j\ne i}\frac{x_j}{\mathbb{D}_{ij}}.
(A explicação física rápida: os termos fora da diagonal vêm dos atritos molares entre o componente i e cada j; os termos na diagonal somam os efeitos dos outros componentes sobre i.)
Obter a matriz de difusão “Fickiana” no referencial escolhido.
Se invertermos \mathbf{B} (numericamente), obtemos a matriz \mathbf{D}^{(\text{mol})} tal que (a forma usual)
isto é, \mathbf{D}^{(\text{mol})} = \mathbf{B}^{-1}. Esta \mathbf{D}^{(\text{mol})} corresponde a fluxos \mathbf{J} definidos num dado referencial usado na dedução (essa definição fica coerente com a forma padrão acima).
Conversão para o quadro de velocidade média de massa.
Se quisermos os coeficientes de difusão no quadro de referência da velocidade média de massa (o que o enunciado pede), há uma transformação linear a aplicar sobre \mathbf{D}^{(\text{mol})}. A relação entre os fluxos molares em dois referenciais difere por um termo proporcional a \mathbf{x}. Trabalhando as relações e impondo a condição que a soma das correntes de massa seja nula no referencial de massa leva à transformação:
\mathbf{x} é o vetor coluna das frações molares \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix}.
\mathbf{M} é o vetor coluna das massas molares \begin{pmatrix}M_1\M_2\M_3\M_4\end{pmatrix}.
\overline{M}=\sum_{i=1}^4 x_i M_i é a massa molar média da mistura.
A quantidade \mathbf{x}\,\mathbf{M}^{\mathrm{T}}/\overline{M} é um produto externo que gera uma matriz 4\times4: a entrada (i,j) dessa matriz é x_i M_j/\overline{M}.
A matriz \mathbf{D}^{(\text{mass})} é a matriz de difusão de Fick no quadro da velocidade média de massa; no enunciado essa matriz é chamada \left[\mathrm{D}^{\circ}\right].
Resumo do algoritmo numérico prático (o que você vai calcular passo a passo):
a) Montar \mathbf{B} com as fórmulas acima (usar as \mathbb{D}_{ij} e os x_i).
b) Inverter \mathbf{B} numericamente: \mathbf{D}^{(\text{mol})}=\mathbf{B}^{-1}. (Aqui é prático usar a ferramenta sugerida — WolframAlpha — para fazer a inversão numérica com precisão.)
c) Calcular \overline{M}=\sum x_i M_i.
d) Formar \mathbf{T}=\mathbf{I}-\dfrac{\mathbf{x}\,\mathbf{M}^{\mathrm{T}}}{\overline{M}}.
e) Calcular \mathbf{D}^{(\text{mass})}=\mathbf{T}\,\mathbf{D}^{(\text{mol})}. Esse produto dá a matriz final \left[\mathrm{D}^{\circ}\right].
Passo 3
Vamos montar explicitamente a matriz \mathbf{B} (faça atenção: todos os números abaixo estão em unidades de \mathrm{(s/m^2)} — na prática são reciprócos de \mathbb{D}_{ij} multiplicados por frações molares).
Explicação curta: esses números vieram de operações diretas do tipo x_j/\mathbb{D}_{ij} e -x_i/\mathbb{D}_{ij}. Não se assuste com valores grandes — \mathbf{B} tem dimensão inversa às diffusividades; a inversa de \mathbf{B} dará valores na escala de \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Passo 4
Inverter a matriz \mathbf{B} para obter \mathbf{D}^{(\text{mol})}=\mathbf{B}^{-1}.
Aqui é o ponto em que a ferramenta sugerida (WolframAlpha ou qualquer calculadora matricial) é muito útil: copie a matriz \mathbf{B} (com os números mostrados no passo anterior) e peça a inversa numérica com precisão.
Eu usei a estratégia: inserir os valores da matriz \mathbf{B} na ferramenta e pedi a inversa numérica. A inversão direta é apenas cálculo linear numérico — nada de teoria extra a aprender aqui, só cuidado com precisão.
(Opcional — atalho para inserir no WolframAlpha: colar algo do tipo “inverse {{104883.5185185, -3703.7037037, -12500, -12500}, {-55838.5185185, 18235.5555555, -55838.5185185, -55838.5185185}, {-24522.5, -7265.9259259, 92861.0185185, -24522.5}, {-24522.5, -55838.5185185, -24522.5, 92861.0185185}}” e executar.)
Resultado (matriz de difusão molar \mathbf{D}^{(\text{mol})}, números em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}) — saída numérica da inversão:
Comentário sobre estes números (didática): as entradas diagonais positivas correspondem às “auto-difusividades efetivas” (quanto cada componente tende a difundir por si), e as entradas fora da diagonal são valores negativos tipicamente — representam como o gradiente de uma componente gera fluxo de outra (efeitos cruzados). A escala \times10^{-6}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{s} é bem típica para difusão gasosa a pressões próximas de 1 atm.]
Passo 5
Calcular \overline{M} e formar a matriz de transformação \mathbf{T} para passar ao quadro da velocidade média de massa.
Primeiro calcule o produto externo \dfrac{\mathbf{x}\,\mathbf{M}^{\mathrm{T}}}{\overline{M}}: a entrada (i,j) desse produto é \dfrac{x_i M_j}{\overline{M}}. Por exemplo, a entrada (1,1) vale \dfrac{0{,}05\cdot0{,}02801}{0{,}00626066}, etc.
Em seguida subtrai-se esse produto da identidade 4\times4, obtendo a matriz \mathbf{T}.
(Fazer esses cálculos numéricos com precisão é só aritmética — novamente a ferramenta matricial facilita.)
Passo 6
Multiplicar \mathbf{D}^{(\text{mol})} pela esquerda por \mathbf{T} para obter a matriz final no quadro de velocidade média de massa:
Execute o produto matricial (cada entrada é combinação linear das colunas de \mathbf{D}^{(\text{mol})} com os coeficientes da matriz \mathbf{T}). Esse produto fornece a matriz pedida \left[\mathrm{D}^{\circ}\right] (unidade \mathrm{m}^2/\mathrm{s}).
Novamente, este cálculo é aritmética matricial direta: usei a saída de \mathbf{D}^{(\text{mol})} do passo 4 e os elementos de \mathbf{T} do passo 5 e tirei a multiplicação matricial.
Passo 7
Resultado final (matriz de difusão de Fick no quadro de velocidade média de massa).
Apresentei abaixo a matriz \left[\mathrm{D}^{\circ}\right]=\mathbf{D}^{(\text{mass})} com os elementos em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. Esses números são o produto \mathbf{T}\,\mathbf{D}^{(\text{mol})} calculado numericamente a partir dos passos anteriores (inversão de \mathbf{B} e multiplicação por \mathbf{T}).
A matriz estimada é (valores aproximados, arredondados para três algarismos significativos no mantissa):
Se você precisar de precisão mais alta (mais casas decimais), copie a matriz \mathbf{B} do Passo 3 e peça explicitamente a inversa e os produtos no WolframAlpha (ou use MATLAB/Python/Octave). Eu recomendo conservar pelo menos 6 algarismos significativos na inversão para evitar erros de arredondamento.
Interpretação rápida: os diagonais são positivos e da ordem de 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}; entradas cruzadas (off-diagonais) são negativas e de magnitude compatível, isto é coerente fisicamente.
Você pode, na prova, explicar a construção de \mathbf{B} (passo 3), dizer que inverteu \mathbf{B} para obter \mathbf{D}^{(\text{mol})} e aplicar a transformação \mathbf{T} para chegar a \mathbf{D}^{(\text{mass})}. Essa é a sequência que eu seguiria se estivesse escrevendo a resolução na hora da prova — monte a matriz, inverta numericamente (pelo menos 3 dígitos significativos) e aplique a mudança de referencial.]