Proporcionalidade
Um triângulo tem lados proporcionais a 3,4 e 5 . Se o menor lado mede 15 cm , qual é o perímetro do triângulo?

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o perímetro de um triângulo cujos lados são proporcionais a 3, 4 e 5, sabendo que o menor lado mede 15\\ \text{cm}. Informações dadas:
  • Proporção dos lados: 3:4:5.
  • Menor lado do triângulo real: 15\\ \text{cm}.
    Pergunta a responder: qual é o perímetro do triângulo?

Passo 2

Entendendo o que significa "lados proporcionais a 3,4,5".
Quando dizemos que os lados são proporcionais a 3,4,5, existe um número positivo k (chamado de razão ou escala) tal que os comprimentos reais dos lados são:
\text{lado}_1 = 3k,\qquad \text{lado}_2 = 4k,\qquad \text{lado}_3 = 5k.
Aqui k é um número que nos diz quanto multiplicamos a proporção para obter os comprimentos reais. Em termos de razão, isso vem da igualdade
\frac{\text{lado}_1}{3}=\frac{\text{lado}_2}{4}=\frac{\text{lado}_3}{5}=k.
Exemplo rápido para fixar: se os lados fossem proporcionais a 1:2 e o menor fosse 6, então 1\cdot k=6 k=6 e o outro lado seria 2\cdot6=12.

Passo 3

Usando o dado de que o menor lado mede 15\\ \text{cm}. O menor da proporção 3,4,5 é 3, logo o menor lado real é 3k. Então:
3k = 15.
Agora resolvo essa equação simples para k. Dividindo ambos os lados por 3:
k = \frac{15}{3}.
Fazendo a divisão, 15\div 3 = 5. Portanto k=5.

Passo 4

Calculo os outros lados multiplicando cada termo da proporção por k=5:
4k = 4\cdot 5 = 20,
5k = 5\cdot 5 = 25.
Então os três lados do triângulo são 15\\ \text{cm}, 20\\ \text{cm} e 25\\ \text{cm}.

Passo 5

O perímetro P é a soma dos comprimentos dos três lados. Então escrevo a soma:
P = 15 + 20 + 25.

Passo 6

Confira rápida (controle de sanidade): os lados 15,20,25 satisfazem as desigualdades triangulares ( 15+20>25, etc.), então formam um triângulo válido. Além disso, note que são a escala do famoso triplo pitagórico 3,4,5, então é um triângulo retângulo (curtiu a curiosidade?).

Resposta

\;60\\ \text{cm}

Exercícios relacionados