Proporcionalidade
Um triângulo tem lados proporcionais a 3,4 e 5 . Se o menor lado mede 15 cm , qual é o perímetro do triângulo?
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o perímetro de um triângulo cujos lados são proporcionais a
,
e
, sabendo que o menor lado mede
. Informações dadas:
- Proporção dos lados:
. - Menor lado do triângulo real:
.
Pergunta a responder: qual é o perímetro do triângulo?
Passo 2
Entendendo o que significa "lados proporcionais a
".
Quando dizemos que os lados são proporcionais a , existe um número positivo
(chamado de razão ou escala) tal que os comprimentos reais dos lados são:
Quando dizemos que os lados são proporcionais a
Aqui
é um número que nos diz quanto multiplicamos a proporção para obter os comprimentos reais. Em termos de razão, isso vem da igualdade
Exemplo rápido para fixar: se os lados fossem proporcionais a
e o menor fosse
, então
dá
e o outro lado seria
.
Passo 3
Usando o dado de que o menor lado mede
. O menor da proporção
é
, logo o menor lado real é
. Então:
Agora resolvo essa equação simples para
. Dividindo ambos os lados por
:
Fazendo a divisão,
. Portanto
.
Passo 4
Calculo os outros lados multiplicando cada termo da proporção por
:
Então os três lados do triângulo são
,
e
.
Passo 5
O perímetro
é a soma dos comprimentos dos três lados. Então escrevo a soma:
Passo 6
Confira rápida (controle de sanidade): os lados
satisfazem as desigualdades triangulares (
, etc.), então formam um triângulo válido. Além disso, note que são a escala do famoso triplo pitagórico
, então é um triângulo retângulo (curtiu a curiosidade?).