Equação do 2^{\circ} \mathrm{Grau}
Resolva a equação: x^{2}-5 x+6=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação quadrática
x^{2}-5x+6=0.
Informações dadas:
a=1,\qquad b=-5,\qquad c=6.
O que se pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem a equação (as raízes da equação).

Passo 2

Estratégia escolhida: tentar fatorar o trinômio, porque quando os coeficientes são inteiros pequenos é o método mais direto em prova — se der fatoração simples, a conta é rápida. A ideia da fatoração é escrever o polinômio como produto de dois binômios do tipo (x + m)(x + n), onde m e n são números que satisfazem duas condições:
m+n = \text{coeficiente de }x\quad(\text{que é }-5)é
e
m\cdot n = \text{termo constante }(\text{que é }6).é
Vou explicar por que isso funciona: ao multiplicar (x+m)(x+n) obtemos x^{2} + (m+n)x + mn. Então queremos m+n=-5 e mn=6.

Passo 3

Agora buscamos dois números inteiros m e n tais que
m+n=-5\quad\text{e}\quad m\cdot n=6.
Teste rápido de pares que multiplicam 6: (1,6), (2,3), (-1,-6), (-2,-3).
Somando:
1+6=7,\quad 2+3=5,\quad -1+(-6)=-7,\quad -2+(-3)=-5.
O par que dá soma -5 e produto 6 é m=-2 e n=-3.

Passo 4

Com m=-2 e n=-3 podemos fatorar o polinômio:
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3).
Uma checagem rápida: multiplicando (x-2)(x-3) obtemos
x\cdot x = x^{2},\quad x\cdot(-3) = -3x,\quad (-2)\cdot x = -2x,\quad (-2)\cdot(-3)=6,
somando os termos de x temos -3x-2x=-5x, logo volta x^{2}-5x+6. Tudo certo.

Passo 5

Uma equação produto igual a zero é verdadeira quando pelo menos um dos fatores é zero. Assim, resolvemos os dois fatores separados:
x-2=0\quad\Rightarrow\quad x=2,
x-3=0\quad\Rightarrow\quad x=3.

Passo 6

(Side note didático rápido, para a prova: se a fatoração não fosse óbvia ou os coeficientes não fossem inteiros convenientes, use a fórmula de Bhaskara — a fórmula quadrática — que sempre funciona. Ela é
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta=b^{2}-4ac. No nosso caso,
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot1\cdot6 = 25-24 = 1,
então
x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{5\pm1}{2},
que dá x=3 e x=2, confirmando os mesmos resultados.)

Resposta

x=2
x=3

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