Proposição 14: Seja a um elemento de período
de um grupo
. Então:
.
Passo 1
O enunciado afirma que em um grupo
o elemento
tem período (ou ordem)
, isto é,
é o menor inteiro positivo tal que
Queremos provar que para todo inteiro
vale
Passo 2
Primeiro mostramos que, se
divide
, então
. De fato, suponha que exista
tal que
Então
pois
por definição de ordem.
Passo 3
Agora provamos que, se
, então
divide
. Aplicamos o algoritmo da divisão euclidiana para
e
: existem únicos
com
Então
Mas
é o menor positivo com
. Como
e
, a minimalidade de
força
. Logo
Resposta
Ficou demonstrado que