Proposição 14: Seja a um elemento de período h>0 de um grupo G. Então: a^m=e Long<=ftrightarrow h mid m.

Passo 1

O enunciado afirma que em um grupo G o elemento a tem período (ou ordem) h>0, isto é, h é o menor inteiro positivo tal que
a^h = e
Queremos provar que para todo inteiro m vale
a^m = e Long<=ftrightarrow h mid m

Passo 2

Primeiro mostramos que, se h divide m, então a^m = e. De fato, suponha que exista kinZ tal que
m = k,h
Então
a^m = a^k,h = l(a^hr)^k = e^k = e,
pois a^h = e por definição de ordem.

Passo 3

Agora provamos que, se a^m = e, então h divide m. Aplicamos o algoritmo da divisão euclidiana para m e h: existem únicos q,rinZ com
m = q,h + r, 0 <= r < h
Então
e = a^m = a^q,h + r = a^q,h,a^r = l(a^hr)^q,a^r = e^q,a^r = a^r
Mas h é o menor positivo com a^h=e. Como 0<= r<h e a^r=e, a minimalidade de h força r=0. Logo
m = q,h Longrightarrow hmid m

Resposta

Ficou demonstrado que
a^m = e Long<=ftrightarrow h mid m

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