Exercício 3. Calcule o ângulo theta entre a reta r e o plano pi nos seguintes casos:
(3) pi: x+y-z-1=0 e
r:l x=1+lambda y=lambda z=-2 lambda

Passo 1

O enunciado pede o ângulo
e o plano
Este é um problema de geometria analítica no espaço. Para resolver, vamos usar o vetor direção da reta, o vetor normal do plano e a fórmula que relaciona o seno de (\theta] com o produto escalar desses vetores.

Passo 2

Do parâmetro da reta vemos que o vetor direção é
v = (1,,1,,-2)
Do coeficiente na equação do plano pi extraímos o vetor normal
n = (1,,1,,-1)

Passo 3

A teoria diz que, se v é a direção da reta e n é o normal do plano, então o ângulo theta entre a reta e o plano satisfaz
sintheta = lvert ncdot vrvert|n|;|v|
Isso ocorre porque theta é o complemento do ângulo entre v e n.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar e as normas:
ncdot v = 1cdot1 + 1cdot1 + (-1)cdot(-2) = 4
|n| = raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz3, |v| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz6

Passo 5

Substituindo na fórmula do seno:
sintheta = 4raiz3,raiz6 = 4raiz18 = 2raiz23
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theta = arcsin!l(tfrac2raiz23r)

Resposta

theta = arcsin!l(2raiz23r)approx 70,5^circ

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