4^a Questão (2,0 pontos)
Considere V=R^4. Seja W o subespaço de V gerado pelo vetor u=(1,1,1,1). Determine W^perp (complemento ortogonal de W) e uma base ortogonal para o mesmo.

Passo 1

O enunciado pede o complemento ortogonal de W=spanusubsetR^4, com u=(1,1,1,1). O conteúdo aqui é: dado um subespaço gerado por um vetor em R^n, seu complemento ortogonal é
W^perp=xinR^nmid xcdot u=0
Para resolver, vamos usar o produto escalar usual e achar a condição que define W^perp, depois exibir três vetores que satisfaçam essa condição e que sejam mutuamente ortogonais.

Passo 2

Impondo x=(x1,x2,x3,x4)in W^perp temos
xcdot u = x1+x2+x3+x4=0
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W^perp = (x1,x2,x3,x4)inR^4mid x1+x2+x3+x4=0

Passo 3

Como dim W=1, dim W^perp=4-1=3. Precisamos, portanto, de três vetores independentes em W^perp. Escolhemos
v1=(1,-1,0,0), v2=(1,1,-2,0), v3=(1,1,1,-3)
Cada um satisfaz a soma das componentes igual a zero, então viin W^perp.

Passo 4

Verificamos agora a ortogonalidade mútua:
v1cdot v2 =1cdot1+(-1)cdot1+0cdot(-2)+0cdot0=1-1=0,
v1cdot v3 =1cdot1+(-1)cdot1+0cdot1+0cdot(-3)=1-1=0,
v2cdot v3 =1cdot1+1cdot1+(-2)cdot1+0cdot(-3)=1+1-2=0
Portanto v1,v2,v3 é uma base ortogonal de W^perp.

Resposta

W^perp=(x1,x2,x3,x4)inR^4mid x1+x2+x3+x4=0
Uma base ortogonal é
(1,-1,0,0),(1,1,-2,0),(1,1,1,-3)

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