Questão (2,0 pontos)
Considere
. Seja
o subespaço de
gerado pelo vetor
. Determine
(complemento ortogonal de W) e uma base ortogonal para o mesmo.
Considere
Passo 1
O enunciado pede o complemento ortogonal de
, com
. O conteúdo aqui é: dado um subespaço gerado por um vetor em
, seu complemento ortogonal é
Para resolver, vamos usar o produto escalar usual e achar a condição que define
, depois exibir três vetores que satisfaçam essa condição e que sejam mutuamente ortogonais.
Passo 2
Impondo
temos
Logo
Passo 3
Como
,
. Precisamos, portanto, de três vetores independentes em
. Escolhemos
Cada um satisfaz a soma das componentes igual a zero, então
.
Passo 4
Verificamos agora a ortogonalidade mútua:
Portanto
é uma base ortogonal de
.
Resposta
Uma base ortogonal é