Proposição 15: Seja G um grupo cíclico finito de ordem h. Então G é isomorfo ao grupo aditivo
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo cíclico finito de ordem
. Isso significa que existe um elemento
tal que
e que
, onde
é o elemento neutro de
. O objetivo é mostrar que
é isomorfo ao grupo aditivo
. Para isso, vamos usar o Teorema do Primeiro Isomorfismo de Grupos, construindo um homomorfismo de
em
e identificando seu núcleo.
Passo 2
Escolhemos o gerador
de
e definimos
Primeiro, note que
é um homomorfismo porque
Além disso,
é sobrejetora, pois todo elemento de
tem a forma
para algum
, e aí
.
Passo 3
Vamos determinar o núcleo de
:
Como
tem ordem exatamente
, o menor inteiro positivo que satisfaz
é
. Logo
Passo 4
Pelo Teorema do Primeiro Isomorfismo, temos
Como
, o quociente
é exatamente
. Portanto
Resposta
Fica provado que todo grupo cíclico finito
de ordem
é isomorfo ao grupo aditivo
.