Proposição 15: Seja G um grupo cíclico finito de ordem h. Então G é isomorfo ao grupo aditivo Zh.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo cíclico finito de ordem h. Isso significa que existe um elemento gin G tal que
G = ,e,g,g^2,dots,g^h-1
e que g^h=e, onde e é o elemento neutro de G. O objetivo é mostrar que G é isomorfo ao grupo aditivo Zh. Para isso, vamos usar o Teorema do Primeiro Isomorfismo de Grupos, construindo um homomorfismo de Z em G e identificando seu núcleo.

Passo 2

Escolhemos o gerador g de G e definimos
phicolon Zto G, phi(n)=g^n
Primeiro, note que phi é um homomorfismo porque
phi(n+m)=g^,n+m=g^ncdot g^m=phi(n),phi(m)
Além disso, phi é sobrejetora, pois todo elemento de G tem a forma g^k para algum k, e aí phi(k)=g^k.

Passo 3

Vamos determinar o núcleo de phi:
kerphi = ,ninZmid g^n=e
Como g tem ordem exatamente h, o menor inteiro positivo que satisfaz g^n=e é n=h. Logo
kerphi = hZ = ,hnmid ninZ

Passo 4

Pelo Teorema do Primeiro Isomorfismo, temos
Z/kerphi ;cong; Imphi = G
Como kerphi = hZ, o quociente Z/hZ é exatamente Zh. Portanto
Zh ;cong; G

Resposta

Fica provado que todo grupo cíclico finito G de ordem h é isomorfo ao grupo aditivo Zh.

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