Sejam a e b elementos de um grupo multiplicativo G. Supondo o(ab)
, mostre que
.
Solução
Se o(a, b)
h
, temos:
Temos, por outro lado:
10)
) Se
e
, decorre:
isto é,
e isto é absurdo.
Temos, por outro lado:
10)
isto é,
Passo 1
O enunciado pede: em um grupo multiplicativo
, dados
tais que a ordem de
é
mostrar que
O que vamos precisar é da definição de ordem de um elemento (menor inteiro positivo que zera o elemento) e das propriedades de grupo: associatividade, elemento neutro e inversos.
Passo 2
Primeiro mostramos que
. Usando associatividade, escrevemos
Como
, temos
Logo,
Isso prova que a ordem de
divide
.
Passo 3
Agora mostramos que não existe expoente menor que
que faça
. Suponha, por absurdo, que haja
com
tal que
Então
Multiplicando à esquerda por
e à direita por
, obtemos
Multiplicando ambos os lados pela direita por
, segue
o que contradiz a definição de
como ordem de
. Portanto não há expoente positivo menor que
que anule
.