Sejam a e b elementos de um grupo multiplicativo G. Supondo o(ab) =h>0, mostre que o(b a)=h.

Solução

Se o(a, b) = h >0, temos:
(a b)^h=e e (a b)^i neq e, i in1,2, ldots, h-1
Temos, por outro lado:
10) (b a)^h=b(a b)^h-1 a=b(a b)^-1 a=b b^-1 a^-1 a=e
2^0 ) Se i in1,2, ldots, h-1 e (b a)^i=e, decorre:
b(a b)^i-1 a=e therefore(a b)^i-1=b^-1 a^-1 therefore(a b)^i-1=(a b)^-1
isto é, (a b)^prime=e e isto é absurdo.

Passo 1

O enunciado pede: em um grupo multiplicativo G, dados a,bin G tais que a ordem de ab é
o(ab)=h>0,
mostrar que
o(ba)=h
O que vamos precisar é da definição de ordem de um elemento (menor inteiro positivo que zera o elemento) e das propriedades de grupo: associatividade, elemento neutro e inversos.

Passo 2

Primeiro mostramos que (ba)^h=e. Usando associatividade, escrevemos
(ba)^h = b,(ab)^h-1a
Como (ab)^h=e, temos
(ab)^h-1=(ab)^-1
Logo,
(ba)^h = b,(ab)^-1a = b,b^-1,a^-1,a = e
Isso prova que a ordem de ba divide h.

Passo 3

Agora mostramos que não existe expoente menor que h que faça (ba)^i=e. Suponha, por absurdo, que haja i com 1<= i<= h-1 tal que
(ba)^i=e
Então
(ba)^i = b,(ab)^,i-1a = e
Multiplicando à esquerda por b^-1 e à direita por a^-1, obtemos
(ab)^,i-1 = b^-1a^-1 = (ab)^-1
Multiplicando ambos os lados pela direita por ab, segue
(ab)^,i = e,
o que contradiz a definição de h como ordem de ab. Portanto não há expoente positivo menor que h que anule ba.

Resposta

o(ba)=h

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