Proposição 1.4.4: Para quaisquer vetores vec{u}, vec{v} e vec{w} e para qualquer escalar lambda \in \mathbb{R}, tem-se:
vec{u} \cdot vec{v}=vec{v} \cdot vec{u}

Passo 1

O enunciado afirma a comutatividade do produto escalar: para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^n, vale
\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}.
Para provar isso, vamos recorrer à definição do produto escalar e à propriedade de comutatividade da multiplicação em \mathbb{R}.

Passo 2

Escrevemos os vetores em coordenadas: seja
\vec{u} = (u_1,u_2,\dots,u_n), \quad \vec{v} = (v_1,v_2,\dots,v_n).
Pela definição, o produto escalar é
\vec{u}\cdot\vec{v} = \sum_{i=1}^n u_i\,v_i.

Passo 3

Como a multiplicação de números reais é comutativa, para cada i temos
u_i\,v_i = v_i\,u_i.
Somando essas igualdades de i=1 até n, obtemos
\sum_{i=1}^n u_i\,v_i = \sum_{i=1}^n v_i\,u_i.

Passo 4

Pela definição novamente,
\sum_{i=1}^n v_i\,u_i = \vec{v}\cdot\vec{u}.
Logo,
\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u},
como queríamos demonstrar.

Resposta

\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}.

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