3 Sejam
e
subespaços de
. Determine
. Encontre bases para
?
Passo 1
O enunciado define os subespaços de
Queremos
,
, bases destes espaços e verificar se
.
Para isso vamos parametrizar e
, achar a interseção impondo a equação de
em pontos de
, usar a fórmula de dimensão
Para isso vamos parametrizar
e examinar se
.
Passo 2
Parametrização e base de
.
Em temos
e
. Logo
Em
Assim
Passo 3
Parametrização e base de
.
Em a equação é
. Tomando
livres,
Em
Logo
Passo 4
Cálculo de
.
Um vetor de é
. Impor a equação de
:
Um vetor de
Logo
e
. Assim
Passo 5
Base e dimensão de
.
e podemos escolher
Passo 6
Dimensão de
.
Pela fórmula
Pela fórmula
Como
tem dimensão 4, segue que
.
Passo 7
Base de
.
Podemos tomar quatro vetores independentes em . Por exemplo
Podemos tomar quatro vetores independentes em
Verifica-se que são linearesmente independentes e geram todo
, logo são base de
.
Passo 8
Verificação de soma direta.
requer
, mas vimos que
tem dimensão 1. Portanto não é soma direta.
Resposta
Não vale