3 Sejam V:=(x, y, z, t) in R^4: x+y=0, z=t e W:=x-y-z+t=0 subespaços de R^4. Determine V cap W e V+W. Encontre bases para V cap W e V+W R^4=V oplus W ?

Passo 1

O enunciado define os subespaços de R^4
V = (x,y,z,t)mid x+y=0,;z=t, W = (x,y,z,t)mid x - y - z + t=0
Queremos Vcap W, V+W, bases destes espaços e verificar se R^4 = Voplus W.
Para isso vamos parametrizar V e W, achar a interseção impondo a equação de W em pontos de V, usar a fórmula de dimensão
dim(V+W)=dim V+dim W-dim(Vcap W)
e examinar se Vcap W=0.

Passo 2

Parametrização e base de V.
Em V temos y=-x e t=z. Logo
(x,y,z,t) = (x,,-x,,z,,z) = x,(1,-1,0,0) + z,(0,0,1,1)
Assim
dim V = 2, base de V: ;,v1=(1,-1,0,0),;v2=(0,0,1,1)

Passo 3

Parametrização e base de W.
Em W a equação é x = y+z - t. Tomando y,z,t livres,
(x,y,z,t) = (y+z-t,;y,;z,;t) = y,(1,1,0,0) + z,(1,0,1,0) + t,(-1,0,0,1)
Logo
dim W = 3, base de W: ;,w1=(1,1,0,0),;w2=(1,0,1,0),;w3=(-1,0,0,1)

Passo 4

Cálculo de .
Um vetor de é . Impor a equação de :
Logo e . Assim

Passo 5

Base e dimensão de Vcap W.
dim(Vcap W)=1 e podemos escolher
base de Vcap W: ;,u=(0,0,1,1)

Passo 6

Dimensão de V+W.
Pela fórmula
dim(V+W)=dim V+dim W-dim(Vcap W) =2+3-1=4
Como R^4 tem dimensão 4, segue que V+W=R^4.

Passo 7

Base de V+W.
Podemos tomar quatro vetores independentes em Vcup W. Por exemplo
v1=(1,-1,0,0),; w1=(1,1,0,0),; w2=(1,0,1,0),; w3=(-1,0,0,1)
Verifica-se que são linearesmente independentes e geram todo R^4, logo são base de V+W.

Passo 8

Verificação de soma direta.
R^4=Voplus W requer Vcap W=0, mas vimos que Vcap W tem dimensão 1. Portanto não é soma direta.

Resposta


com base, por exemplo,

Não vale .

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