As proposições abaixo têm duas variáveis livres m e n (ambos números naturais). Para cada uma delas, dê um exemplo e um contraexemplo, se existirem:
m+n é par.

Passo 1

O enunciado dá uma proposição com duas variáveis livres m e n, sendo ambas números naturais. O pedido é: para essa proposição, fornecer um exemplo (um par (m,n) que torne a proposição verdadeira) e um contraexemplo (um par (m,n) que torne a proposição falsa), se existirem.
Informações dadas:
  • m\in\mathbb{N}.
  • n\in\mathbb{N}.
    A proposição a analisar é: m+n é par.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar claramente o que significa “par” e “ímpar” (vou explicar devagar, passo a passo).
  • Um número natural x é par se e somente se existe um inteiro k tal que x=2k. Em símbolos: x é par \iff \exists k\in\mathbb{Z} com x=2k.
  • Um número natural x é ímpar se e somente se existe um inteiro k tal que x=2k+1. Em símbolos: x é ímpar \iff \exists k\in\mathbb{Z} com x=2k+1.
    Essas são as definições que vamos usar para provar e construir exemplos.

Passo 3

Agora vamos ver, usando essas definições, quando a soma m+n é par. Vamos estudar os três casos de paridade possíveis para m e n.
Caso A: ambos são pares. Suponha m=2a e n=2b com a,b\in\mathbb{Z}. Então
m+n = 2a + 2b = 2(a+b).
Como a+b é inteiro, m+n tem a forma 2(\text{inteiro}), logo m+n é par.
Caso B: ambos são ímpares. Suponha m=2a+1 e n=2b+1 com a,b\in\mathbb{Z}. Então
m+n = (2a+1) + (2b+1) = 2(a+b+1).
Novamente m+n é da forma 2(\text{inteiro}), logo m+n é par.
Caso C: um é par e o outro é ímpar. Sem perda de generalidade, suponha m=2a e n=2b+1. Então
m+n = 2a + (2b+1) = 2(a+b) + 1,
que é um número da forma 2(\text{inteiro})+1, ou seja, ímpar. O mesmo acontece se m for ímpar e n par.
Conclusão útil (fórmula prática): \;m+n é par se, e somente se, m e n têm a mesma paridade (ou seja, os dois pares ou os dois ímpares). Se tiverem paridades diferentes, m+n é ímpar.

Passo 4

Com essa conclusão, fica fácil construir um exemplo (para a proposição ser verdadeira) e um contraexemplo (para ser falsa).
Exemplo (proposição verdadeira): escolha m e n com mesma paridade. Por exemplo, pego dois ímpares simples:
m=3,\qquad n=5.
Verificação:
m+n = 3+5 = 8,
e 8 é par (pois 8=2\cdot4). Então (m,n)=(3,5) é um exemplo que torna a proposição verdadeira.

Passo 5

Contraexemplo (proposição falsa): escolha m e n com paridades diferentes. Por exemplo:
m=2,\qquad n=3.
Verificação:
m+n = 2+3 = 5,
e 5 é ímpar (pois não é múltiplo de 2, pode escrever 5=2\cdot2+1). Portanto (m,n)=(2,3) é um contraexemplo que torna a proposição falsa.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (como produzir exemplos/contraexemplos na hora):
  • Para um exemplo (quer que m+n seja par): escolha dois números pares (ex.: 4,6) ou dois números ímpares (ex.: 7,9). A soma vai ser par.
  • Para um contraexemplo (quer que m+n seja ímpar): escolha um par e um ímpar (ex.: 8,5). A soma vai ser ímpar.
    Isso evita ficar fazendo contas longas: basta olhar a paridade dos termos.

Resposta

Exemplo: m=3,\\ n=5 (então m+n=8 é par)
Contraexemplo: m=2,\\ n=3 (então m+n=5 não é par)

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