As proposições abaixo têm duas variáveis livres
e
(ambos números naturais). Para cada uma delas, dê um exemplo e um contraexemplo, se existirem:
é par.
Passo 1
O enunciado dá uma proposição com duas variáveis livres
e
, sendo ambas números naturais. O pedido é: para essa proposição, fornecer um exemplo (um par
que torne a proposição verdadeira) e um contraexemplo (um par
que torne a proposição falsa), se existirem.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
. -
.
A proposição a analisar é:é par.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar claramente o que significa “par” e “ímpar” (vou explicar devagar, passo a passo).
- Um número natural
é par se e somente se existe um inteiro tal que . Em símbolos: é par com . - Um número natural
é ímpar se e somente se existe um inteiro tal que . Em símbolos: é ímpar com .
Essas são as definições que vamos usar para provar e construir exemplos.
Passo 3
Agora vamos ver, usando essas definições, quando a soma
é par. Vamos estudar os três casos de paridade possíveis para
e
.
Caso A: ambos são pares. Suponha
e
com
. Então
Como
é inteiro,
tem a forma
, logo
é par.
Caso B: ambos são ímpares. Suponha
e
com
. Então
Novamente
é da forma
, logo
é par.
Caso C: um é par e o outro é ímpar. Sem perda de generalidade, suponha
e
. Então
que é um número da forma
, ou seja, ímpar. O mesmo acontece se
for ímpar e
par.
Conclusão útil (fórmula prática):
é par se, e somente se,
e
têm a mesma paridade (ou seja, os dois pares ou os dois ímpares). Se tiverem paridades diferentes,
é ímpar.
Passo 4
Com essa conclusão, fica fácil construir um exemplo (para a proposição ser verdadeira) e um contraexemplo (para ser falsa).
Exemplo (proposição verdadeira): escolha
e
com mesma paridade. Por exemplo, pego dois ímpares simples:
Verificação:
e
é par (pois
). Então
é um exemplo que torna a proposição verdadeira.
Passo 5
Contraexemplo (proposição falsa): escolha
e
com paridades diferentes. Por exemplo:
Verificação:
e
é ímpar (pois não é múltiplo de
, pode escrever
). Portanto
é um contraexemplo que torna a proposição falsa.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (como produzir exemplos/contraexemplos na hora):
- Para um exemplo (quer que
seja par): escolha dois números pares (ex.: ) ou dois números ímpares (ex.: ). A soma vai ser par. - Para um contraexemplo (quer que
seja ímpar): escolha um par e um ímpar (ex.: ). A soma vai ser ímpar.
Isso evita ficar fazendo contas longas: basta olhar a paridade dos termos.
Resposta
Exemplo:
(então
é par)
Contraexemplo: (então
não é par)
Contraexemplo: