As proposições abaixo têm duas variáveis livres
e
(ambos números naturais). Para cada uma delas, dê um exemplo e um contraexemplo, se existirem:
Se
é par, então
e
são ambos pares.
Se
Passo 1
O enunciado fornece duas variáveis livres
e
, ambas números naturais, e a proposição a ser testada é:
“Se
é par, então
e
são ambos pares.”
O que é pedido:
- Fornecer um exemplo (valores de
) em que a implicação se verifica. - Fornecer um contraexemplo (valores de
) caso a implicação seja falsa (isto é, encontrar tais que a hipótese seja verdadeira e a conclusão falsa).
Informações relevantes dadas:
-
. - A proposição é uma implicação: “Se (premissa) então (conclusão)”.
Passo 2
Entendendo os termos e como testar uma implicação:
- Definição de “par”: um natural
é par se existe tal que . - Definição de “ímpar”: um natural
é ímpar se existe tal que .
Como testar a verdade/falsidade de uma implicação "Se
então
":
- A implicação é verdadeira sempre que
for falsa (verdade vacuamente) ou quando e são ambas verdadeiras. - Para dar um contraexemplo basta encontrar valores com
verdadeira e falsa (ou seja, a hipótese acontece, mas a conclusão falha).
No nosso caso:
-
: " é par". -
: " e são ambos pares".
Para um contraexemplo queremos
par e ao mesmo tempo que pelo menos um entre
não seja par (ou equivalently, que não seja verdade que ambos são pares).
Passo 3
Exemplo (a implicação vale para esses valores):
Escolho e
.
Escolho
Verificação:
e
é par (pois
). Além disso
é par (
) e
é par (
). Logo, para esses valores a hipótese é verdadeira e a conclusão também é verdadeira, ou seja, a implicação se verifica neste exemplo.
Observação útil: escolher dois números pares sempre dá um exemplo onde a implicação é satisfeita, porque par+par = par.
Passo 4
Contraexemplo (mostrando que a proposição geral é falsa):
Escolho e
.
Escolho
Verificação:
e
é par. Portanto a hipótese
é par é verdadeira. Agora a conclusão afirma que
e
são ambos pares — mas
e
são ímpares (cada um é da forma
). Assim a conclusão é falsa para esses valores. Portanto temos um contraexemplo: a implicação inteira é falsa como afirmação geral sobre todos os naturais
.
Passo 5
Explicação didática do porquê a proposição geral erra e qual é a forma correta:
- Regra de paridade: ao somar restos modulo
, se representarmos e como
com
(aqui
significa que
é par e
que
é ímpar), então
Para
ser par é necessário e suficiente que
seja par. Como
, isso só ocorre quando
, ou seja quando
. Logo
(ambos pares) ou
(ambos ímpares).
Conclusão lógica: se
é par, então
e
têm a mesma paridade — isto é, ou ambos são pares ou ambos são ímpares. A proposição dada (“então
e
são ambos pares”) é apenas uma das duas possibilidades e, portanto, a afirmação geral é falsa (como vimos com o contraexemplo
).
Passo 6
Resumo prático para a prova (dicas rápidas e ânimo):
- Para encontrar um contraexemplo de uma afirmação do tipo “Se
é par, então …”, pense nas duas opções que tornam par: dois pares ou dois ímpares. Se a conclusão exige apenas “ambos pares”, tente dois ímpares (por exemplo ou ) para quebrar a conclusão. - Lembre-se: implicação é falsificada só quando a hipótese é verdadeira e a conclusão falsa.
- Força — você consegue! Contraexemplos costumam ser simples e intuitivos (tente os menores números naturais primeiro).
Resposta
Exemplo:
.\nContraexemplo:
.