As proposições abaixo têm duas variáveis livres m e n (ambos números naturais). Para cada uma delas, dê um exemplo e um contraexemplo, se existirem:
Se m+n é par, então m e n são ambos pares.

Passo 1

O enunciado fornece duas variáveis livres m e n, ambas números naturais, e a proposição a ser testada é:
“Se m+n é par, então m e n são ambos pares.”
O que é pedido:
  • Fornecer um exemplo (valores de m,n) em que a implicação se verifica.
  • Fornecer um contraexemplo (valores de m,n) caso a implicação seja falsa (isto é, encontrar m,n tais que a hipótese seja verdadeira e a conclusão falsa).
Informações relevantes dadas:
  • m,n\in\mathbb{N}.
  • A proposição é uma implicação: “Se (premissa) então (conclusão)”.

Passo 2

Entendendo os termos e como testar uma implicação:
  • Definição de “par”: um natural x é par se existe k\in\mathbb{N} tal que x=2k.
  • Definição de “ímpar”: um natural x é ímpar se existe k\in\mathbb{N} tal que x=2k+1.
Como testar a verdade/falsidade de uma implicação "Se P então Q":
  • A implicação é verdadeira sempre que P for falsa (verdade vacuamente) ou quando P e Q são ambas verdadeiras.
  • Para dar um contraexemplo basta encontrar valores com P verdadeira e Q falsa (ou seja, a hipótese acontece, mas a conclusão falha).
No nosso caso:
  • P: " m+n é par".
  • Q: " m e n são ambos pares".
Para um contraexemplo queremos m+n par e ao mesmo tempo que pelo menos um entre m,n não seja par (ou equivalently, que não seja verdade que ambos são pares).

Passo 3

Exemplo (a implicação vale para esses valores):
Escolho m=2 e n=4.
Verificação:
m+n=2+4=6,
e 6 é par (pois 6=2\cdot 3). Além disso m=2 é par ( 2=2\cdot1) e n=4 é par ( 4=2\cdot2). Logo, para esses valores a hipótese é verdadeira e a conclusão também é verdadeira, ou seja, a implicação se verifica neste exemplo.
Observação útil: escolher dois números pares sempre dá um exemplo onde a implicação é satisfeita, porque par+par = par.

Passo 4

Contraexemplo (mostrando que a proposição geral é falsa):
Escolho m=1 e n=1.
Verificação:
m+n=1+1=2,
e 2 é par. Portanto a hipótese m+n é par é verdadeira. Agora a conclusão afirma que m e n são ambos pares — mas m=1 e n=1 são ímpares (cada um é da forma 2\cdot 0+1). Assim a conclusão é falsa para esses valores. Portanto temos um contraexemplo: a implicação inteira é falsa como afirmação geral sobre todos os naturais m,n.

Passo 5

Explicação didática do porquê a proposição geral erra e qual é a forma correta:
  • Regra de paridade: ao somar restos modulo 2, se representarmos m e n como
m=2a+r,\qquad n=2b+s,
com r,s\in\{0,1\} (aqui r=0 significa que m é par e r=1 que m é ímpar), então
m+n=2(a+b)+(r+s).
Para m+n ser par é necessário e suficiente que r+s seja par. Como r,s\in\{0,1\}, isso só ocorre quando r+s\in\{0,2\}, ou seja quando r=s. Logo r=s=0 (ambos pares) ou r=s=1 (ambos ímpares).
Conclusão lógica: se m+n é par, então m e n têm a mesma paridade — isto é, ou ambos são pares ou ambos são ímpares. A proposição dada (“então m e n são ambos pares”) é apenas uma das duas possibilidades e, portanto, a afirmação geral é falsa (como vimos com o contraexemplo 1,1).

Passo 6

Resumo prático para a prova (dicas rápidas e ânimo):
  • Para encontrar um contraexemplo de uma afirmação do tipo “Se m+n é par, então …”, pense nas duas opções que tornam m+n par: dois pares ou dois ímpares. Se a conclusão exige apenas “ambos pares”, tente dois ímpares (por exemplo 1,1 ou 3,5) para quebrar a conclusão.
  • Lembre-se: implicação é falsificada só quando a hipótese é verdadeira e a conclusão falsa.
  • Força — você consegue! Contraexemplos costumam ser simples e intuitivos (tente os menores números naturais primeiro).

Resposta

Exemplo: m=2,\;n=4.\nContraexemplo: m=1,\;n=1.

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