Determine o valor verdade de cada proposição abaixo: \forall n \in \mathbb{N}^{*} \exists m \in \mathbb{Z} \left\lvert\, m<\frac{1}{n}\right.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor de verdade da proposição
\forall n \in \mathbb{N}^{*}\; \exists m \in \mathbb{Z}\;\left\lvert\, m<\frac{1}{n}\right.
Informações dadas:
n varia em \mathbb{N}^{*} (números naturais estritamente positivos: 1,2,3,\dots).
m varia em \mathbb{Z} (conjunto dos inteiros: \dots,-2,-1,0,1,2,\dots).
A condição a satisfazer é m<\dfrac{1}{n}.
A tarefa é decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa (isto é, se para todo n existe um inteiro m que satisfaça a desigualdade).
Passo 2
Entendendo os quantificadores (explicação didática e essencial):
\forall n significa “para todo n escolhido em \mathbb{N}^{*} (um n arbitrário)”.
\exists m significa “existe pelo menos um m em \mathbb{Z} (pode depender de n) tal que …”.
Para provar que a sentença é verdadeira devemos, dado um n arbitrário em \mathbb{N}^{*}, apresentar (ou construir) um inteiro m que satisfaça m<\dfrac{1}{n}. Para provar que é falsa bastaria encontrar um n para o qual nenhum inteiro satisfaz a desigualdade.
Passo 3
Observação importante sobre \dfrac{1}{n}:
Como n\in\mathbb{N}^{*}, tem-se n\ge 1. Portanto
\frac{1}{n}>0.
Explicando: dividir 1 por um número positivo n dá sempre um número positivo (quando n=1, \dfrac{1}{n}=1; quando n>1, \dfrac{1}{n} é um número entre 0 e 1).
Passo 4
Escolha de um candidato para m (construção explícita):
Uma escolha natural e simples é tomar
m=0.
Verificações:
0\in\mathbb{Z} (zero é um inteiro).
Como vimos em Passo 3, \dfrac{1}{n}>0 para todo n\in\mathbb{N}^{*}. Logo
Portanto m=0 satisfaz m<\dfrac{1}{n} para qualquer n\in\mathbb{N}^{*}.
Observação extra (para reforçar a intuição): qualquer inteiro negativo também funciona, por exemplo m=-1 satisfaz -1<\dfrac{1}{n} para todo n, pois -1<0<\dfrac{1}{n}.
Passo 5
Conclusão lógica:
Dado um n arbitrário em \mathbb{N}^{*} apresentamos m=0\in\mathbb{Z} tal que m<\dfrac{1}{n}. Isso prova exatamente a sentença com quantificadores \forall n\,\exists m. Assim a proposição é verdadeira.