(Propriedades da delta de kronecker e Levi-Civita): Desenvolva os somatórios e mostre as seguintes propriedades da delta de kronecker e tensor de Levi-Civita.
\sum_{i=1}^{3} \delta_{i i}=3

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver o somatório e mostrar que
\sum_{i=1}^{3} \delta_{ii}=3.
Informações dadas:
  • O índice de soma é i e varia de 1 a 3.
  • A expressão dentro da soma é \delta_{ii}, onde \delta_{ij} é a delta de Kronecker.

Passo 2

Definição e significado da delta de Kronecker (explicação didática):
\delta_{ij}= \begin{cases} 1 & \text{se } i=j,\\[4pt] 0 & \text{se } i\neq j. \end{cases}
Aqui i e j são índices que percorrem os valores 1,2,3. A delta é simplesmente uma função que vale 1 quando os índices coincidem e 0 quando são diferentes — pense nela como a entrada (i,j) da matriz identidade.]

Passo 3

Escrever o somatório expandido (passo a passo mostrando o que somamos):
\sum_{i=1}^{3}\delta_{ii}=\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}.
Cada termo corresponde a escolher i=1, i=2 e i=3, respectivamente.

Passo 4

Avaliar cada termo usando a definição da delta:
\delta_{11}=1,\qquad \delta_{22}=1,\qquad \delta_{33}=1,
porque em cada um desses casos o par de índices é igual ( i=j), logo a delta vale 1.

Passo 5

Somar os valores obtidos:
\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}=1+1+1=3.

Passo 6

Interpretação e generalização (dica prática para a prova):
  • A soma \sum_{i=1}^{3}\delta_{ii} é a soma das entradas da diagonal da matriz identidade 3\times3, ou seja, a traça da identidade, que dá 3.
  • Em geral, em dimensão n,
\sum_{i=1}^{n}\delta_{ii}=n.
Vai dar tudo certo — isso é só usar a definição e expandir a soma termo a termo.

Resposta

3

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