(Propriedades da delta de kronecker e Levi-Civita): Desenvolva os somatórios e mostre as seguintes propriedades da delta de kronecker e tensor de Levi-Civita.
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver o somatório e mostrar que
Informações dadas:
- O índice de soma é
e varia de a . - A expressão dentro da soma é
, onde é a delta de Kronecker.
Passo 2
Definição e significado da delta de Kronecker (explicação didática):
Aqui
e
são índices que percorrem os valores
. A delta é simplesmente uma função que vale
quando os índices coincidem e
quando são diferentes — pense nela como a entrada
da matriz identidade.]
Passo 3
Escrever o somatório expandido (passo a passo mostrando o que somamos):
Cada termo corresponde a escolher
,
e
, respectivamente.
Passo 4
Avaliar cada termo usando a definição da delta:
porque em cada um desses casos o par de índices é igual (
), logo a delta vale
.
Passo 5
Somar os valores obtidos:
Passo 6
Interpretação e generalização (dica prática para a prova):
- A soma
é a soma das entradas da diagonal da matriz identidade , ou seja, a traça da identidade, que dá . - Em geral, em dimensão
,
Vai dar tudo certo — isso é só usar a definição e expandir a soma termo a termo.