Propriedades da Multiplicação por Escalar
Se
e
são vetores quaisquer e
e
números reais, temos:
(I)
(II)
(III)
.
Se
(I)
(II)
(III)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar as três propriedades da multiplicação por escalar em um espaço vetorial real, usando a definição de multiplicação por escalar em
:
– Axioma de associatividade entre escalares e vetor
– Distributividade do produto escalar sobre soma de escalares
– Distributividade do produto escalar sobre soma de vetores
– Axioma de associatividade entre escalares e vetor
– Distributividade do produto escalar sobre soma de escalares
– Distributividade do produto escalar sobre soma de vetores
Passo 2
Demonstração de (I)
.
Seja
Seja
Por definição de multiplicação por escalar em
,
Aplicando
a esse vetor,
Passo 3
Demonstração de (II)
.
Mantendo ,
Mantendo
Como para cada componente vale
, segue
Passo 4
Demonstração de (III)
.
Seja também
Seja também
então
Pelo distributivo em
,
. Logo
Resposta
As três propriedades (I), (II) e (III) são válidas em qualquer espaço vetorial real.