Propriedades da Multiplicação por Escalar
Se u e v são vetores quaisquer e a e b números reais, temos:
(I) a(b u)=(a b) u
(II) (a+b) u=a u+b u
(III) a(u+v)=a u+a v.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar as três propriedades da multiplicação por escalar em um espaço vetorial real, usando a definição de multiplicação por escalar em R^n:
– Axioma de associatividade entre escalares e vetor
– Distributividade do produto escalar sobre soma de escalares
– Distributividade do produto escalar sobre soma de vetores

Passo 2

Demonstração de (I) a,(b,u) = (a,b),u.
Seja
u = (u1, dots, un)
Por definição de multiplicação por escalar em R^n,
b,u = (b,u1, dots, b,un)
Aplicando a a esse vetor,
a,(b,u) = l(a,(b,u1), dots, a,(b,un)r) = l((a,b),u1, dots, (a,b),unr) = (a,b),(u1, dots, un) = (a,b),u

Passo 3

Demonstração de (II) (a+b),u = a,u + b,u.
Mantendo u=(u1,dots,un),
(a+b),u = l((a+b),u1, dots, (a+b),unr)
Como para cada componente vale (a+b),ui = a,ui + b,ui, segue
(a+b),u = l(a,u1 + b,u1, dots, a,un + b,unr) = (a,u1,dots,a,un) + (b,u1,dots,b,un) = a,u + b,u

Passo 4

Demonstração de (III) a,(u+v) = a,u + a,v.
Seja também
v = (v1,dots,vn),
então
u+v = (u1+v1,dots,un+vn),
a,(u+v) = l(a,(u1+v1), dots, a,(un+vn)r)
Pelo distributivo em R, a,(ui+vi)=a,ui + a,vi. Logo
a,(u+v) = l(a,u1 + a,v1, dots, a,un + a,vnr) = (a,u1,dots,a,un) + (a,v1,dots,a,vn) = a,u + a,v

Resposta

As três propriedades (I), (II) e (III) são válidas em qualquer espaço vetorial real.

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