Propriedades da Multiplicação por Escalar
Se
e
são vetores quaisquer e
e
números reais, temos:
(I)
(II)
(III)
(III)
.
Se
(I)
(II)
(III)
(III)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, no espaço vetorial
com adição e multiplicação por escalar definidas coordenada a coordenada, valem as quatro propriedades listadas. Vamos usar a definição de soma de vetores e de produto por escalar em
e as propriedades algébricas do corpo
.
Passo 2
Definimos
a soma
e o produto por escalar
Vamos usar também que em
a multiplicação é associativa e distributiva.
Passo 3
Prova de (I)
.
Pelo lado esquerdo,
Pelo lado esquerdo,
e, pela associatividade em
,
. Logo
Passo 4
Prova de (II)
.
Calculamos
Calculamos
e, pela distributiva em
,
. Assim
Passo 5
Prova de (III)
.
Pelo lado esquerdo,
Pelo lado esquerdo,
Como em
vale
, segue
Passo 6
Prova de (IV)
.
Basta notar que em cada coordenada
Basta notar que em cada coordenada
portanto
Resposta
As quatro propriedades estão demonstradas:
(I)
(II)
(III)
(IV)
(I)
(II)
(III)
(IV)