Propriedades da Multiplicação por Escalar
Se u e v são vetores quaisquer e a e b números reais, temos:
(I) a(b u)=(a b) u
(II) (a+b) u=a u+b u
(III) a(u+v)=a u+a v
(III) 1 u=u.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, no espaço vetorial R^n com adição e multiplicação por escalar definidas coordenada a coordenada, valem as quatro propriedades listadas. Vamos usar a definição de soma de vetores e de produto por escalar em R^n e as propriedades algébricas do corpo R.

Passo 2

Definimos
u=(u1,u2,dots,un), v=(v1,v2,dots,vn),
a soma
u+v=(u1+v1,,u2+v2,dots,un+vn)
e o produto por escalar alphainR
alpha,u=(alpha,u1,,alpha,u2,dots,alpha,un)
Vamos usar também que em R a multiplicação é associativa e distributiva.

Passo 3

Prova de (I) a(b,u)=(a,b),u.
Pelo lado esquerdo,
al(b,ur) =a,(b,u1,dots,b,un) =(a,(b,u1),dots,a,(b,un))
e, pela associatividade em R, a,(b,ui)=(a,b),ui. Logo
a(b,u) =((a,b),u1,dots,(a,b),un) =(a,b),u

Passo 4

Prova de (II) (a+b),u=a,u+b,u.
Calculamos
(a+b),u =((a+b),u1,dots,(a+b),un)
e, pela distributiva em R,
(a+b),ui=a,ui+b,ui. Assim
(a+b),u =(a,u1+b,u1,dots,a,un+b,un) =(a,u1,dots,a,un)+(b,u1,dots,b,un) =a,u+b,u

Passo 5

Prova de (III) a(u+v)=a,u+a,v.
Pelo lado esquerdo,
a(u+v) =a,(u1+v1,dots,un+vn) =(a,(u1+v1),dots,a,(un+vn))
Como em R vale a,(ui+vi)=a,ui+a,vi, segue
a(u+v) =(a,u1+a,v1,dots,a,un+a,vn) =(a,u1,dots,a,un)+(a,v1,dots,a,vn) =a,u+a,v

Passo 6

Prova de (IV) 1,u=u.
Basta notar que em cada coordenada
1,ui=ui,
portanto
1,u=(1,u1,dots,1,un)=(u1,dots,un)=u

Resposta

As quatro propriedades estão demonstradas:
(I) ;a(b,u)=(a,b),u
(II) ;(a+b),u=a,u+b,u
(III) ;a(u+v)=a,u+a,v
(IV) ;1,u=u

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