Resolva as equações exponenciais.
h) 4^x=2^x+1+48

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
4^x = 2^x+1 + 48,
usando propriedades de potências e uma substituição que transforme esse problema num caso de equação quadrática.

Passo 2

Repare que
4^x = (2^2)^x = 2^2x
Para simplificar, façamos a substituição
t = 2^x,
onde necessariamente t>0.

Passo 3

Substituindo na equação original, obtemos
2^2x = 2^x+1 + 48 Longrightarrow t^2 = 2,t + 48

Passo 4

Reescrevendo como equação quadrática em t:
t^2 - 2t - 48 = 0
O discriminante é
De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot(-48) = 4 + 192 = 196

Passo 5

As raízes dessa quadrática são
t = 2 pm raiz1962 = 2 pm 142,
isto é, t=8 ou t=-6. Como t=2^x>0, rejeitamos t=-6 e ficamos com
t = 8

Passo 6

Voltando à definição de t, temos
2^x = 8 = 2^3,
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x = 3

Resposta

x = 3

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