Um proprietário de dois restaurantes deseja contabilizar o consumo dos seguintes produtos: arroz, carne, cerveja e feijão. No 1^{\circ} restaurante são consumidos, por semana, 25 kg de arroz, 50 kg de carne, 200 garrafas de cerveja e 20 kg de feijão. No 2^{\circ} restaurante são consumidos, semanalmente, 28 kg de arroz, 60 kg de carne, 150 garrafas de cerveja e 22 kg de feijão.
Existem dois fornecedores, cujos preços, em reais, destes itens são:
produtos Fornecedor I Fornecedor II
1 kg de arroz 1,00 1,00
1 kg de carne 8,00 10,00
1 garrafa de cerveja 0,90 0,80
1 kg de feijão 1,50 1,00
A partir destas informações:
a) Construa uma matriz 2 \times 4 que descreva o consumo desses produtos pelo proprietário no 1^{\circ} e no 2^{\circ} restaurantes, e uma matriz 4 \times 2 que descreva os preços dos produtos nos dois fornecedores;
b) Calcule o produto das duas matrizes anteriores, de modo que este represente o gasto semanal de cada restaurante com cada fornecedor e determine o lucro semanal que o proprietário terá comprando sempre no fornecedor mais barato, para os dois restaurantes.

Passo 1

O enunciado dá o consumo semanal de quatro produtos (arroz, carne, cerveja e feijão) em dois restaurantes e os preços desses mesmos produtos em dois fornecedores. O conteúdo é multiplicação de matrizes para obter o gasto semanal de cada restaurante com cada fornecedor e, em seguida, comparação com a compra sempre no fornecedor mais barato para calcular a economia (lucro).

Passo 2

Vamos organizar o consumo numa matriz 2\times 4, em que a primeira linha é o restaurante 1 e a segunda linha o restaurante 2; as colunas, pela ordem, são arroz (kg), carne (kg), cerveja (garrafas) e feijão (kg). Assim:
C = \begin{pmatrix} 25 & 50 & 200 & 20\\\\ 28 & 60 & 150 & 22 \end{pmatrix}

Passo 3

Agora montamos a matriz 4\times 2 de preços, em que cada linha corresponde a um produto (na mesma ordem de C) e as colunas são Fornecedor I e Fornecedor II:
P = \begin{pmatrix} 1,00 & 1,00\\\\ 8,00 & 10,00\\\\ 0,90 & 0,80\\\\ 1,50 & 1,00 \end{pmatrix}

Passo 4

O produto CP é uma matriz 2\times 2 cujas entradas m_{ij} são o gasto semanal do restaurante i comprando tudo do fornecedor j. Calculando:
CP \;=\; \begin{pmatrix} 25 & 50 & 200 & 20\\\\ 28 & 60 & 150 & 22 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1,00 & 1,00\\\\ 8,00 & 10,00\\\\ 0,90 & 0,80\\\\ 1,50 & 1,00 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 635 & 705\\\\ 721 & 770 \end{pmatrix}
Logo, se o dono comprasse tudo no Fornecedor I gastaria R$635 no restaurante 1 e R$ 721 no restaurante 2; no Fornecedor II, gastaria R$705 e R$ 770, respectivamente.

Passo 5

Para saber a compra sempre no fornecedor mais barato, extraímos o vetor coluna dos menores preços de cada produto:
p_{\min} = \begin{pmatrix} \min(1,00,1,00)\\\ \min(8,00,10,00)\\\ \min(0,90,0,80)\\\ \min(1,50,1,00) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,00\\\\ 8,00\\\\ 0,80\\\\ 1,00 \end{pmatrix}
e calculamos
E = C\,p_{\min} = \begin{pmatrix} 25 & 50 & 200 & 20\\\\ 28 & 60 & 150 & 22 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1,00\\\\ 8,00\\\\ 0,80\\\\ 1,00 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 605\\\\ 650 \end{pmatrix}.
Isto é, comprando cada produto sempre pelo menor preço ele gastaria R$605 no restaurante 1 e R$ 650 no restaurante 2.

Passo 6

O lucro (economia) semanal em cada restaurante é a diferença entre o gasto mínimo comprando tudo de um único fornecedor (o menor valor em cada linha de CP) e o gasto E.
Para o restaurante 1:
\min(635,705) - 605 = 635 - 605 = 30.
Para o restaurante 2:
\min(721,770) - 650 = 721 - 650 = 71.
O lucro total somando os dois restaurantes é
30 + 71 = 101.

Resposta

a)
C = \begin{pmatrix} 25 & 50 & 200 & 20\\\\ 28 & 60 & 150 & 22 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} 1,00 & 1,00\\\\ 8,00 & 10,00\\\\ 0,90 & 0,80\\\\ 1,50 & 1,00 \end{pmatrix}. b)
CP = \begin{pmatrix} 635 & 705\\\\ 721 & 770 \end{pmatrix}, \quad E = \begin{pmatrix} 605\\\\ 650 \end{pmatrix}, \quad \text{lucro total} = 101.

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