Resolva o seguinte sistema
\begin{aligned} 10 x_{1}+2 x_{2}-x_{3} & =27 \\\\ -3 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3} & =-61,5 \\\ x_{1}+x_{2}+5 x_{3} & =-21,5 \end{aligned}
Usando o método de decomposição L U.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 10x_{1}+2x_{2}-x_{3}=27,\\\\ -3x_{1}-6x_{2}+2x_{3}=-61,5,\\\ x_{1}+x_{2}+5x_{3}=-21,5 \end{cases}
usando decomposição LU. Vamos fatorar a matriz dos coeficientes A em A=LU, onde L é triangular inferior com uns na diagonal e U é triangular superior; depois resolvemos Ly=b e Ux=y.

Passo 2

Começamos com
A=\begin{pmatrix} 10 & 2 & -1\\\\ -3 & -6 & 2\\\\ 1 & 1 & 5 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}27\\\ -61.5\\\ -21.5\end{pmatrix}.
Na primeira etapa de LU temos
u_{11}=10,\quad u_{12}=2,\quad u_{13}=-1,
e os multiplicadores
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{-3}{10}=-0.3,\quad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{1}{10}=0.1.

Passo 3

Agora computamos os elementos da segunda linha/coluna:
u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}=-6-(-0.3\cdot2)=-5.4,
u_{23}=a_{23}-\ell_{21}u_{13}=2-(-0.3\cdot(-1))=1.7,
\ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}} =\frac{1-(0.1\cdot2)}{-5.4} =\frac{0.8}{-5.4}=-\frac{4}{27}\approx-0.14815.
Por fim
u_{33} =a_{33}-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23} =5-0.1\cdot(-1)-\Bigl(-\tfrac{4}{27}\cdot1.7\Bigr) =\frac{289}{54}\approx5.35185.
Logo
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -0.3 & 1 & 0\\\\ 0.1 & -\tfrac{4}{27} & 1 \end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix} 10 & 2 & -1\\\\ 0 & -5.4 & 1.7\\\\ 0 & 0 & \tfrac{289}{54} \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora resolvemos Ly=b:
\displaystyle y_{1}=27,
y_{2}=b_{2}-\ell_{21}y_{1} =-61.5-(-0.3\cdot27)=-61.5+8.1=-53.4,
y_{3}=b_{3}-\ell_{31}y_{1}-\ell_{32}y_{2} =-21.5-(0.1\cdot27)-\Bigl(-\tfrac{4}{27}\cdot(-53.4)\Bigr) =-32.111111\ldots
(na forma exata y_{3}=-\frac{289}{9}).

Passo 5

Em seguida, resolvemos Ux=y por retro-substituição. Primeiro
x_{3}=\frac{y_{3}}{u_{33}} =\frac{-\tfrac{289}{9}}{\tfrac{289}{54}}=-6.
Depois
x_{2}=\frac{y_{2}-u_{23}x_{3}}{u_{22}} =\frac{-53.4-(1.7\cdot(-6))}{-5.4} =\frac{-53.4+10.2}{-5.4}=8,
e por fim
x_{1}=\frac{y_{1}-u_{12}x_{2}-u_{13}x_{3}}{u_{11}} =\frac{27-(2\cdot8)-(-1\cdot(-6))}{10} =\frac{5}{10}=0.5.

Resposta

x_{1}=0.5,\quad x_{2}=8,\quad x_{3}=-6.

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