O proprietário de uma rede de postos de serviço para caminhões mantém extensos registros de suas várias transações com seus clientes. Se uma amostra aleatória de 118 desses registros acusa uma venda média de 58,22 galões de óleo diesel, com desvio padrão de 4,80 galões.
Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a média da população que gerou esta amostra.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra aleatória de tamanho n=118 com média amostral \bar x = 58{,}22 galões e desvio-padrão amostral s = 4{,}80 galões. Queremos construir um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu. Aqui usamos o conceito de intervalo de confiança para média quando a variância populacional é desconhecida, aplicando a distribuição t de Student (ou, para n grande, aproximamos por z).

Passo 2

O intervalo de confiança para \mu com nível de confiança 1-\alpha é dado por
\bar x \pm t_{1-\frac{\alpha}{2},\,df}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde df = n-1 são os graus de liberdade e t_{1-\frac{\alpha}{2},\,df} é o quantil da distribuição t.

Passo 3

Aqui n=118 implica df = 117. Para nível de confiança 95\% temos \alpha = 0{,}05 e 1-\frac{\alpha}{2} = 0{,}975.
O valor crítico na tabela t é aproximadamente
t_{0{,}975,\,117} \approx 1{,}98.

Passo 4

Calculamos o erro-padrão da média:
\mathrm{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{4{,}80}{\sqrt{118}} \approx 0{,}442.

Passo 5

O erro máximo de estimativa (margem de erro) é
E = t_{0{,}975,\,117}\times \mathrm{SE} \approx 1{,}98 \times 0{,}442 \approx 0{,}875.

Passo 6

Portanto o intervalo de confiança de 95\% é
58{,}22 \pm 0{,}875
ou seja
[58{,}22 - 0{,}875,\;58{,}22 + 0{,}875] = [57{,}345,\;59{,}095].

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para a média populacional é aproximadamente
(57{,}35,\;59{,}09)\\ \text{galões}.õ

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