(a) O que propunha De Broglie em sua hipótese do comportamento ondulatório da matéria? (b) Qual é a velocidade de um nêutron de comprimento de onda 100 pm ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • O enunciado faz duas perguntas:
    (a) O que propunha De Broglie em sua hipótese do comportamento ondulatório da matéria?
    (b) Qual é a velocidade de um nêutron de comprimento de onda 100\\ \text{pm}?
  • Informações do enunciado que usarei:
    • Comprimento de onda do nêutron: \lambda = 100\\ \text{pm}.
    • Não foi dada nenhuma outra informação numérica; portanto serão usadas constantes físicas conhecidas (constante de Planck e massa do nêutron).

Passo 2

Explicação didática da hipótese de De Broglie (resposta para a parte (a)).
  • De Broglie propôs que partículas materiais (elétrons, nêutrons, átomos etc.) também possuem propriedades ondulatórias, análogo ao comportamento dual onda-partícula da luz.
  • A formulação quantitativa da hipótese é a relação de De Broglie: \lambda = \frac{h}{p},onde:
    • \lambda é o comprimento de onda atribuído à partícula,
    • h é a constante de Planck (uma constante física fundamental),
    • p é o momento linear da partícula (momentum).
  • Interpretação simples: partículas com maior momento têm comprimento de onda menor; partículas lentas e leves podem ter comprimentos de onda grandes o suficiente para efeitos de difração serem observáveis.
  • Observação prática: para partículas não-relativísticas, o momento é p = m v, onde m é a massa e v a velocidade, permitindo conectar \lambda com v.

Passo 3

Preparação para calcular a velocidade do nêutron (parte (b)): equações e definição das variáveis.
  • Usarei a relação de De Broglie em sua forma mais útil para velocidades não-relativísticas: \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}.Aqui:
    • \lambda é o comprimento de onda dado,
    • h é a constante de Planck,
    • m é a massa do nêutron,
    • v é a velocidade que queremos encontrar.
  • Isolando v: v = \frac{h}{m\,\lambda}.
  • Observação didática: essa fórmula assume p = m v, que é válida quando a velocidade é muito menor que a velocidade da luz (regime não-relativístico). Depois do cálculo vou verificar se essa aproximação é consistente.

Passo 4

Valores numéricos das constantes (e conversão de unidades). Explico cada escolha.
  • Constante de Planck (valor adotado): h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}.Comentário: essa é a definição moderna do valor de h.
  • Massa do nêutron (valor adotado): m_n = 1,67492749804\times10^{-27}\\ \text{kg}.Comentário: esse é o valor da massa de repouso do nêutron em quilogramas.
  • Comprimento de onda dado no enunciado: \lambda = 100\\ \text{pm} = 100\times10^{-12}\\ \text{m} = 1\times10^{-10}\\ \text{m}.Comentário: converti picômetros para metros porque o SI exige metros nas fórmulas.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo da velocidade usando \;v = \dfrac{h}{m\,\lambda}\;.
  • Primeiro calculo o produto m_n\,\lambda: m_n\,\lambda = \bigl(1,67492749804\times10^{-27}\bigr)\times\bigl(1\times10^{-10}\bigr) = 1,67492749804\times10^{-37}\\ \text{kg}\cdot\text{m}.
  • Agora calculo v: v = \frac{6,62607015\times10^{-34}}{1,67492749804\times10^{-37}} = \frac{6,62607015}{1,67492749804}\times10^{3}.
  • Faço a divisão numérica aproximada: \frac{6,62607015}{1,67492749804}\approx 3,9579\ldotsportanto v \approx 3,9579\times10^{3}\\ \text{m/s}.
  • Arredondando de forma sensata (duas ou três casas significativas, dada a precisão das constantes): v \approx 3,96\times10^{3}\\ \text{m/s} \quad\text{(aproximadamente)}.

Passo 6

Verificação da hipótese não-relativística (checar consistência da aproximação p = m v).
  • Calculo a energia cinética clássica aproximada: K = \tfrac{1}{2} m_n v^2.Usando m_n\approx1,675\times10^{-27}\\ \text{kg} e v\approx3,96\times10^{3}\\ \text{m/s}, K \approx \tfrac{1}{2}\cdot1,675\times10^{-27}\cdot(3,96\times10^{3})^{2} \approx 1,3\times10^{-20}\\ \text{J}.
  • Energia de repouso do nêutron: E_{\text{repouso}} = m_n c^2 \approx 1,675\times10^{-27}\cdot(3,00\times10^{8})^{2} \approx 1,51\times10^{-10}\\ \text{J}.
  • Comparação: K é da ordem de 10^{-20}\\ \text{J} enquanto E_{\text{repouso}} é da ordem de 10^{-10}\\ \text{J}. Ou seja, K\ll E_{\text{repouso}} (dez ordens de magnitude menor), portanto a aproximação não-relativística é totalmente válida aqui. Logo usar p=m v foi correto.

Passo 7

Resumo final e incentivo.
  • Conclusão: usando a relação de De Broglie e os valores padronizados de h e m_n, obteve-se uma velocidade do nêutron da ordem de alguns milhares de metros por segundo, e a hipótese não-relativística foi verificada como consistente.
  • Dica para a prova: memorizando a relação \lambda = h/p e sabendo converter unidades (pm → m) e usar p=m v quando apropriado, você resolve esse tipo de questão de forma direta. Vai dar certo — continua firme!

Resposta

(a) De Broglie propunha que toda partícula material tem comportamento ondulatório, associado a um comprimento de onda dado por \lambda=\dfrac{h}{p}, onde h é a constante de Planck e p o momento da partícula.
(b) v \approx 3,96\times10^{3}\\ \text{m/s}

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