(a) O que propunha De Broglie em sua hipótese do comportamento ondulatório da matéria? (b) Qual é a velocidade de um nêutron de comprimento de onda 100 pm ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
-
O enunciado faz duas perguntas:
(a) O que propunha De Broglie em sua hipótese do comportamento ondulatório da matéria?
(b) Qual é a velocidade de um nêutron de comprimento de onda? -
Informações do enunciado que usarei:
- Comprimento de onda do nêutron:
. - Não foi dada nenhuma outra informação numérica; portanto serão usadas constantes físicas conhecidas (constante de Planck e massa do nêutron).
- Comprimento de onda do nêutron:
Passo 2
Explicação didática da hipótese de De Broglie (resposta para a parte (a)).
- De Broglie propôs que partículas materiais (elétrons, nêutrons, átomos etc.) também possuem propriedades ondulatórias, análogo ao comportamento dual onda-partícula da luz.
- A formulação quantitativa da hipótese é a relação de De Broglie:
onde: -
é o comprimento de onda atribuído à partícula, -
é a constante de Planck (uma constante física fundamental), -
é o momento linear da partícula (momentum).
-
- Interpretação simples: partículas com maior momento têm comprimento de onda menor; partículas lentas e leves podem ter comprimentos de onda grandes o suficiente para efeitos de difração serem observáveis.
- Observação prática: para partículas não-relativísticas, o momento é
, onde é a massa e a velocidade, permitindo conectar com .
Passo 3
Preparação para calcular a velocidade do nêutron (parte (b)): equações e definição das variáveis.
- Usarei a relação de De Broglie em sua forma mais útil para velocidades não-relativísticas:
Aqui: -
é o comprimento de onda dado, -
é a constante de Planck, -
é a massa do nêutron, -
é a velocidade que queremos encontrar.
-
- Isolando
: - Observação didática: essa fórmula assume
, que é válida quando a velocidade é muito menor que a velocidade da luz (regime não-relativístico). Depois do cálculo vou verificar se essa aproximação é consistente.
Passo 4
Valores numéricos das constantes (e conversão de unidades). Explico cada escolha.
- Constante de Planck (valor adotado):
Comentário: essa é a definição moderna do valor de . - Massa do nêutron (valor adotado):
Comentário: esse é o valor da massa de repouso do nêutron em quilogramas. - Comprimento de onda dado no enunciado:
Comentário: converti picômetros para metros porque o SI exige metros nas fórmulas.
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo da velocidade usando
.
- Primeiro calculo o produto
: - Agora calculo
: - Faço a divisão numérica aproximada:
portanto - Arredondando de forma sensata (duas ou três casas significativas, dada a precisão das constantes):
Passo 6
Verificação da hipótese não-relativística (checar consistência da aproximação
).
- Calculo a energia cinética clássica aproximada:
Usando e , - Energia de repouso do nêutron:
- Comparação:
é da ordem de enquanto é da ordem de . Ou seja, (dez ordens de magnitude menor), portanto a aproximação não-relativística é totalmente válida aqui. Logo usar foi correto.
Passo 7
Resumo final e incentivo.
- Conclusão: usando a relação de De Broglie e os valores padronizados de
e , obteve-se uma velocidade do nêutron da ordem de alguns milhares de metros por segundo, e a hipótese não-relativística foi verificada como consistente. - Dica para a prova: memorizando a relação
e sabendo converter unidades (pm → m) e usar quando apropriado, você resolve esse tipo de questão de forma direta. Vai dar certo — continua firme!
Resposta
(a) De Broglie propunha que toda partícula material tem comportamento ondulatório, associado a um comprimento de onda dado por
, onde
é a constante de Planck e
o momento da partícula.
(b)
(b)