(a) Quais são as similaridades e diferenças entre os orbitais 1 s e 2 s do átomo de hidrogênio? (b) O que se pode dizer sobre a distância média do núcleo de um elétron em um orbital 2 s quando comparada a um orbital 3 s ?
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas claras:
(a) Quais são as similaridades e diferenças entre os orbitais e
do átomo de hidrogênio?
(b) O que se pode dizer sobre a distância média do núcleo de um elétron em um orbital quando comparada à de um orbital
?
(a) Quais são as similaridades e diferenças entre os orbitais
(b) O que se pode dizer sobre a distância média do núcleo de um elétron em um orbital
Informações úteis implícitas no enunciado (não pediram números, mas estamos tratando o átomo de hidrogênio):
- Os orbitais são estados ligados do elétron no potencial coulombiano do protão; cada orbital é descrito por números quânticos
. - Para orbitais
vale e são esfericamente simétricos.
Passo 2
O que é um orbital e quais números quânticos importam aqui — aula rápida e prática.
Um orbital atômico é a função de onda do elétron. Essa função pode ser separada em parte radial e parte angular:
Um orbital atômico é a função de onda
-
é o número quântico principal (determina energia e tamanho típico). -
é o número quântico azimutal (determina a forma angular; para : ). -
descreve orientação (irrelevante para porque é constante).
O que vemos já aqui: orbítaltem ; orbital tem . Ambos têm a mesma parte angular (simbólica: esfericamente simétricos).
Passo 3
Formas explícitas das funções de onda (importante para ver diferenças concretas). Vou escrever as formas normalizadas que se usam no hidrogénio:
Explicando símbolos:
-
é a distância do elétron ao núcleo. -
é o raio de Bohr ( ). - As constantes na frente garantem que
(normalização).
Observações imediatas pelas fórmulas:
- Ambas dependem apenas de
(são esféricas). - A parte radial do
tem o fator que pode trocar de sinal — isso gera um nó radial. O não tem esse fator, nunca muda de sinal.
Passo 4
Similaridades entre
e
(lista clara e explicada):
- Ambos têm
e, portanto, são esfericamente simétricos. Isto significa que a densidade de probabilidade depende só de . - Ambos têm a mesma parte angular
(constante). - Em átomo de hidrogénio, a energia depende apenas de
; ambos são autostados do mesmo Hamiltoniano coulombiano. - Ambos têm probabilidade de encontrar o elétron arbitrariamente perto do núcleo (o valor de
em é finito e para ambos ) — atenção: ter nó radial não implica neste caso.
Passo 5
Diferenças entre
e
(lista clara, cada item explicado):
- Número quântico principal
: tem , tem . Isso já implica diferenças de energia e tamanho típico. - Energia: para hidrogénio a energia é
. Assim e . Conclusão: é muito mais ligado (energia menor) que . - Número de nós radiais:
tem zero nós radiais internos (a função radial não se anula para ), enquanto tem exatamente um nó radial. Especificamente, da expressão do o nó aparece quando , isto é em . Um nó significa raio em que a probabilidade de encontrar o elétron é zero. - Distribuição radial (forma): o
tem um máximo único na densidade radial (probabilidade por intervalo a ), tipicamente próximo de . O tem uma região interna (próxima ao núcleo) com probabilidade, depois um nó em , e uma “lóbulo” externo mais espalhado. Em resumo: é espacialmente mais extenso. - Tamanho típico: o
“ocupa” regiões mais afastadas do núcleo em média, comparado com o . - Penetração e crivamento: apesar de o
estar, em média, mais longe, ele ainda tem densidade perto do núcleo (o lóbulo interno), o que dá propriedades de penetração diferentes em comparação com orbitais com .
Passo 6
Como quantify a “distância média” do elétron ao núcleo? Definição e fórmula usada.
A distância média (valor esperado de ) em um estado
é
A distância média (valor esperado de
Para o átomo de hidrogénio existe uma expressão fechada conhecida (resultado de integrais com as funções radiais) para
:
Explicando variáveis nesta fórmula:
-
é o raio de Bohr. -
e como antes.
Essa fórmula foi obtida integrando explicitamente a densidade radial com as funções de Laguerre associadas; aqui aceitamos o resultado e explicamos como usá-lo sem necessidade de rederivar a integral inteira na prova (mas é possível fazê-lo por partes usando integrais tipo gama).
Passo 7
Aplicar a fórmula para os orbitais
e
(passo a passo e sem pular contas).
Para orbitais temos
. Então a fórmula fica:
Para orbitais
- Para
( ):
- Para
( ):
Comparando:
Conclusão numérica: o elétron em
está, em média,
vezes mais longe do núcleo que em
. Em outras palavras
cresce como
(para mesmo
), por isso
.
Passo 8
Interpretação física e dicas para prova (como responder rápido e recordar):
- Resposta curta e segura para (a): ambos são
(esféricos) e têm parte angular igual; diferem em (energia, tamanho), e o possui um nó radial (em ) enquanto não tem. O é mais espalhado e tem uma estrutura com lóbulo interno e externo. - Para (b): usar a fórmula
. Para ( ) obtemos e . Logo o tem distância média maior (cerca de vezes maior que o ). - Dica prática: na prova, se pedirem apenas “qual está mais distante em média”, basta dizer “
” e justificar brevemente que para mesmo . Se pedirem valores numéricos, use .
Resposta
(a) Similaridades: ambos são orbitais
(
), portanto esfericamente simétricos e com a mesma parte angular
; ambos têm densidade não nula em
. Diferenças:
tem
e não tem nós radiais;
tem
, possui um nó radial em
, tem energia maior (menos ligado) e é espacialmente mais extenso com um lóbulo exterior além do lóbulo interno.
(b) A distância média vale . Assim
e
. O elétron em
está, em média,
vezes mais longe do núcleo que em
.
(b) A distância média vale