(a) Quais são as similaridades e diferenças entre os orbitais 1 s e 2 s do átomo de hidrogênio? (b) O que se pode dizer sobre a distância média do núcleo de um elétron em um orbital 2 s quando comparada a um orbital 3 s ?

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
(a) Quais são as similaridades e diferenças entre os orbitais 1s e 2s do átomo de hidrogênio?
(b) O que se pode dizer sobre a distância média do núcleo de um elétron em um orbital 2s quando comparada à de um orbital 3s?
Informações úteis implícitas no enunciado (não pediram números, mas estamos tratando o átomo de hidrogênio):
  • Os orbitais são estados ligados do elétron no potencial coulombiano do protão; cada orbital é descrito por números quânticos n,\ell,m.
  • Para orbitais s vale \ell=0 e são esfericamente simétricos.

Passo 2

O que é um orbital e quais números quânticos importam aqui — aula rápida e prática.
Um orbital atômico é a função de onda \psi_{n\ell m}(\mathbf{r}) do elétron. Essa função pode ser separada em parte radial e parte angular:
\psi_{n\ell m}(\mathbf{r}) = R_{n\ell}(r)\,Y_{\ell m}(\theta,\varphi).
  • n é o número quântico principal (determina energia e tamanho típico).
  • \ell é o número quântico azimutal (determina a forma angular; para s: \ell=0).
  • m descreve orientação (irrelevante para \ell=0 porque Y_{00} é constante).
    O que vemos já aqui: orbítal 1s tem n=1,\ell=0; orbital 2s tem n=2,\ell=0. Ambos têm a mesma parte angular Y_{00} (simbólica: esfericamente simétricos).

Passo 3

Formas explícitas das funções de onda (importante para ver diferenças concretas). Vou escrever as formas normalizadas que se usam no hidrogénio:
\psi_{100}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^{3}}}\,e^{-r/a_0},
\psi_{200}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\sqrt{2\pi a_0^{3}}}\left(2-\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)}.
Explicando símbolos:
  • r é a distância do elétron ao núcleo.
  • a_0 é o raio de Bohr ( a_0\approx 0,529\\ \text{\AA}).
  • As constantes na frente garantem que \int |\psi|^2\,dV = 1 (normalização).
Observações imediatas pelas fórmulas:
  • Ambas dependem apenas de r (são esféricas).
  • A parte radial do 2s tem o fator \left(2-\dfrac{r}{a_0}\right) que pode trocar de sinal — isso gera um nó radial. O 1s não tem esse fator, nunca muda de sinal.

Passo 4

Similaridades entre 1s e 2s (lista clara e explicada):
  • Ambos têm \ell=0 e, portanto, são esfericamente simétricos. Isto significa que a densidade de probabilidade depende só de r.
  • Ambos têm a mesma parte angular Y_{00} (constante).
  • Em átomo de hidrogénio, a energia depende apenas de n; ambos são autostados do mesmo Hamiltoniano coulombiano.
  • Ambos têm probabilidade de encontrar o elétron arbitrariamente perto do núcleo (o valor de \psi em r=0 é finito e para ambos \psi(0)\neq 0) — atenção: ter nó radial não implica \psi(0)=0 neste caso.

Passo 5

Diferenças entre 1s e 2s (lista clara, cada item explicado):
  • Número quântico principal n: 1s tem n=1, 2s tem n=2. Isso já implica diferenças de energia e tamanho típico.
  • Energia: para hidrogénio a energia é E_n = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2}. Assim E_{1s}= -13{,}6\\ \text{eV} e E_{2s}=-3{,}4\\ \text{eV}. Conclusão: 1s é muito mais ligado (energia menor) que 2s.
  • Número de nós radiais: 1s tem zero nós radiais internos (a função radial não se anula para r>0), enquanto 2s tem exatamente um nó radial. Especificamente, da expressão do 2s o nó aparece quando 2-\dfrac{r}{a_0}=0, isto é em r=2a_0. Um nó significa raio em que a probabilidade de encontrar o elétron é zero.
  • Distribuição radial (forma): o 1s tem um máximo único na densidade radial (probabilidade por intervalo r a r+dr), tipicamente próximo de r=a_0. O 2s tem uma região interna (próxima ao núcleo) com probabilidade, depois um nó em r=2a_0, e uma “lóbulo” externo mais espalhado. Em resumo: 2s é espacialmente mais extenso.
  • Tamanho típico: o 2s “ocupa” regiões mais afastadas do núcleo em média, comparado com o 1s.
  • Penetração e crivamento: apesar de o 2s estar, em média, mais longe, ele ainda tem densidade perto do núcleo (o lóbulo interno), o que dá propriedades de penetração diferentes em comparação com orbitais com \ell>0.

Passo 6

Como quantify a “distância média” do elétron ao núcleo? Definição e fórmula usada.
A distância média (valor esperado de r) em um estado \psi_{n\ell m} é
\langle r\rangle_{n\ell}=\int r\,|\psi_{n\ell m}(\mathbf{r})|^2\,dV.
Para o átomo de hidrogénio existe uma expressão fechada conhecida (resultado de integrais com as funções radiais) para \langle r\rangle:
\langle r\rangle_{n\ell}=\frac{a_0}{2}\bigl(3n^2-\ell(\ell+1)\bigr).
Explicando variáveis nesta fórmula:
  • a_0 é o raio de Bohr.
  • n e \ell como antes.
    Essa fórmula foi obtida integrando explicitamente a densidade radial com as funções de Laguerre associadas; aqui aceitamos o resultado e explicamos como usá-lo sem necessidade de rederivar a integral inteira na prova (mas é possível fazê-lo por partes usando integrais tipo gama).

Passo 7

Aplicar a fórmula para os orbitais 2s e 3s (passo a passo e sem pular contas).
Para orbitais s temos \ell=0. Então a fórmula fica:
\langle r\rangle_{n,\,\ell=0}=\frac{a_0}{2}\bigl(3n^2\bigr)=\frac{3}{2}a_0 n^2.
  • Para 2s ( n=2):
\langle r\rangle_{2s}=\frac{3}{2}a_0\cdot 2^2=\frac{3}{2}a_0\cdot 4=6\,a_0.
  • Para 3s ( n=3):
\langle r\rangle_{3s}=\frac{3}{2}a_0\cdot 3^2=\frac{3}{2}a_0\cdot 9=13{,}5\,a_0.
Comparando:
\frac{\langle r\rangle_{3s}}{\langle r\rangle_{2s}}=\frac{13{,}5\,a_0}{6\,a_0}=\frac{13{,}5}{6}=2{,}25.
Conclusão numérica: o elétron em 3s está, em média, 2{,}25 vezes mais longe do núcleo que em 2s. Em outras palavras \langle r\rangle cresce como n^2 (para mesmo \ell), por isso 3^2/2^2=9/4=2{,}25.

Passo 8

Interpretação física e dicas para prova (como responder rápido e recordar):
  • Resposta curta e segura para (a): ambos são s (esféricos) e têm parte angular igual; diferem em n (energia, tamanho), e o 2s possui um nó radial (em r=2a_0) enquanto 1s não tem. O 2s é mais espalhado e tem uma estrutura com lóbulo interno e externo.
  • Para (b): usar a fórmula \langle r\rangle_{n\ell}=\dfrac{a_0}{2}\bigl(3n^2-\ell(\ell+1)\bigr). Para s ( \ell=0) obtemos \langle r\rangle_{2s}=6a_0 e \langle r\rangle_{3s}=13{,}5a_0. Logo o 3s tem distância média maior (cerca de 2{,}25 vezes maior que o 2s).
  • Dica prática: na prova, se pedirem apenas “qual está mais distante em média”, basta dizer “ 3s” e justificar brevemente que \langle r\rangle\propto n^2 para mesmo \ell. Se pedirem valores numéricos, use \langle r\rangle_{s}=\tfrac{3}{2}a_0 n^2.

Resposta

(a) Similaridades: ambos são orbitais s ( \ell=0), portanto esfericamente simétricos e com a mesma parte angular Y_{00}; ambos têm densidade não nula em r=0. Diferenças: 1s tem n=1 e não tem nós radiais; 2s tem n=2, possui um nó radial em r=2a_0, tem energia maior (menos ligado) e é espacialmente mais extenso com um lóbulo exterior além do lóbulo interno.
(b) A distância média vale \langle r\rangle_{n,s}=\dfrac{3}{2}a_0 n^2. Assim \langle r\rangle_{2s}=6a_0 e \langle r\rangle_{3s}=13{,}5a_0. O elétron em 3s está, em média, 2{,}25 vezes mais longe do núcleo que em 2s.

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