Uma proteína da albumina do ovo é precipitada quando o ovo é cozido em água fervente. A energia de ativação, \mathrm{E}_{a}, desta reação de primeira ordem é de 52,0 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}. Estime o tempo necessário para cozinhar um ovo, a uma altitude onde a água ferve a 90^{\circ} \mathrm{C}, sabendo que a 100^{\circ} \mathrm{C} o tempo de cozimento é de 3 min .

Passo 1

O enunciado trata da desnaturação (precipitação) de uma proteína como uma reação de primeira ordem com energia de ativação \mathrm{E}_a=52{,}0\\ \mathrm{kJ/mol}. Sabemos que o tempo de cozimento a 100\\ ^\circ\mathrm{C} é t_{100}=3\\ \mathrm{min} e queremos estimar o tempo t_{90} a 90\\ ^\circ\mathrm{C}. Para isso usaremos a equação de Arrhenius e o fato de que, para reação de primeira ordem com mesma conversão, o tempo é inversamente proporcional à constante de taxa.

Passo 2

A constante de taxa segue
k(T) = A \exp\Bigl(-\frac{\mathrm{E}_a}{R\,T}\Bigr)
e, para mesma fração reagida, vale
t \propto \frac{1}{k}\quad\Longrightarrow\quad \frac{t_{90}}{t_{100}} = \frac{k(100\,^\circ\mathrm{C})}{k(90\,^\circ\mathrm{C})}\,.
Logo
t_{90} = t_{100}\,\exp\Bigl[\frac{\mathrm{E}_a}{R}\Bigl(\tfrac{1}{T_{90}}-\tfrac{1}{T_{100}}\Bigr)\Bigr].

Passo 3

Converter as temperaturas para kelvin:
T_{100}=100+273=373\\ \mathrm{K},\qquad T_{90}=90+273=363\\ \mathrm{K},
e usar R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e \mathrm{E}_a=52{,}0\\ \mathrm{kJ/mol}=52000\\ \mathrm{J/mol}. Substituindo em
t_{90} = 3\\ \mathrm{min}\,\exp\!\Bigl[\frac{52000}{8{,}314}\Bigl(\tfrac{1}{363}-\tfrac{1}{373}\Bigr)\Bigr].

Passo 4

Calcular a diferença de inversos de temperatura e o expoente:
\frac{1}{363}-\frac{1}{373} \approx 7{,}38\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}},\quad \frac{52000}{8{,}314}\times7{,}38\times10^{-5}\approx0{,}462.
Então
t_{90} = 3\\ \mathrm{min}\times e^{0{,}462}\approx 3\times1{,}588\approx4{,}76\\ \mathrm{min}.

Resposta

O tempo de cozimento a 90\\ ^\circ\mathrm{C} é aproximadamente 4{,}8\\ \mathrm{min}.

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