A 378,5^{\circ} \mathrm{C}, o tempo de meia-vida para a decomposição térmica de primeira ordem do óxido de etileno é 363 min e a energia de ativação da reação é 218,4 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}. A partir destes dados, calcule o tempo necessário para decompor 75% do óxido de etileno, a 450^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado trata da decomposição térmica de primeira ordem do óxido de etileno, com tempo de meia-vida t_{1/2}=363\,\mathrm{min} a T_1=378,5\,^\circ\mathrm{C} e energia de ativação E_a=218,4\,\mathrm{kJ/mol}. Queremos o tempo para decompor 75 % a T_2=450\,^\circ\mathrm{C}. Para isso usaremos:
  1. A relação entre t_{1/2} e a constante cinética k em reação de primeira ordem,
  2. A equação de Arrhenius para obter k em outra temperatura,
  3. A expressão da lei integrada de primeira ordem para conversão.

Passo 2

Calcular a constante cinética k_1 em T_1 usando
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k_1}
Logo,
k_1 = \frac{\ln 2}{363\,\mathrm{min}} \approx 0,00191\,\mathrm{min^{-1}}.

Passo 3

Determinar o pré-exponencial A pela equação de Arrhenius
k = A \exp\Bigl(-\frac{E_a}{R\,T}\Bigr),
onde R=0,008314\,\mathrm{kJ/(mol\;K)}. Em T_1 = 378,5+273,15 = 651,65\,\mathrm{K},
A = k_1 \exp\Bigl(\frac{E_a}{R\,T_1}\Bigr) = 0,00191\;\exp\!\Bigl(\tfrac{218,4}{0,008314\times651,65}\Bigr) \approx 6,25\times10^{14}\,\mathrm{min^{-1}}.

Passo 4

Calcular k_2 em T_2 = 450+273,15 = 723,15\,\mathrm{K} usando o mesmo A:
k_2 = A \exp\Bigl(-\frac{E_a}{R\,T_2}\Bigr) = 6,25\times10^{14}\;\exp\!\Bigl(-\tfrac{218,4}{0,008314\times723,15}\Bigr) \approx 0,106\,\mathrm{min^{-1}}.

Passo 5

Para decompor 75 % de primeira ordem, a fração remanescente é 25 %, ou seja,
\frac{[A]}{[A]_0} = 0,25 = e^{-k_2\,t} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{-\ln(0,25)}{k_2} = \frac{\ln 4}{k_2} \approx \frac{1,3863}{0,106}\approx 13,1\,\mathrm{min}.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 13,1\,\mathrm{min}.

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