O próton de maior energia detectado até hoje nos raios cósmicos possuía a espantosa energia cinética de
(energia suficiente para aquecer de alguns graus Celsius uma colher de chá de água).
a) Determine o fator de Lorentz
e a velocidade
da partícula em relação à Terra.
b) Suponha que o próton tenha percorrido uma distância igual ao diâmetro da Via Láctea (
anos-luz). Quanto tempo o próton levou para cobrir essa distância, do ponto de vista de um observador terrestre?
c) Quanto tempo o próton levou para percorrer essa distância no referencial de repouso?
a) Determine o fator de Lorentz
b) Suponha que o próton tenha percorrido uma distância igual ao diâmetro da Via Láctea (
c) Quanto tempo o próton levou para percorrer essa distância no referencial de repouso?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) o fator de Lorentz
e a velocidade do próton em relação à Terra, sabendo que a energia cinética é . - (b) o tempo que o próton levou para percorrer uma distância igual ao diâmetro da Via Láctea,
anos‑luz, medido por um observador terrestre. - (c) o tempo que o próton mediu para percorrer essa mesma distância (tempo próprio no referencial de repouso da partícula).
Informações e constantes dadas/usadas:
- Energia cinética do próton:
- Energia de repouso do próton (conhecida):
(estou usando este valor padrão do próton) - Diâmetro da Via Láctea:
anos‑luz (dado no enunciado). - Velocidade da luz: vou usar
- Conversão de 1 ano para segundos:
Observação: todas as contas relativísticas serão feitas usando as fórmulas padrão da relatividade restrita.
Passo 2
Cálculo do fator de Lorentz
.
Explicação da fórmula: a energia total de uma partícula relativística é
. A energia cinética é
. Logo,
Agora substituímos os valores (tudo em eV para cancelar unidades):
Faço a divisão:
Como o termo 1 é insignificante comparado a
, temos
Passo 3
Cálculo da velocidade
a partir de
.
Fórmula e derivação: por definição,
Isolando
,
Como
é enorme (
), o termo
é extremamente pequeno e podemos usar a aproximação de binômio para entender quão perto de
está
:
Aqui
, então
Calculo numérico de
:
Portanto
Em termos de valor em
,
Passo 4
Tempo medido por um observador terrestre para o próton atravessar o diâmetro da Via Láctea.
Estratégia: no referencial terrestre o tempo é simplesmente
Como
está em anos‑luz, uma forma direta é notar que uma luz levaria exatamente
anos para percorrer
anos‑luz. Como
está a uma fração
de
, o tempo será
Como
,
(diferença insignificante). Assim numericamente:
- em anos:
- em segundos (para um número absoluto): primeiro converto
para segundos:
Como
, o tempo em segundos é praticamente o mesmo:
A correção por
muda esse valor por uma quantidade da ordem de
, desprezível para nossas unidades.
Passo 5
Tempo próprio do próton (tempo medido no referencial de repouso da partícula).
Conceito e fórmula: devido à dilatação do tempo, um intervalo medido no referencial da Terra
corresponde a um intervalo menor no referencial da partícula:
Substituindo os valores numéricos (uso o tempo em segundos para ficar direto):
Fazendo a divisão:
Interpretação física rápida: embora, para nós, o próton leve
anos para atravessar a galáxia, no referencial do próprio próton esse percurso leva apenas alguns segundos graças à enorme contração temporal (ou, visto de outro modo, à enorme dilatação do tempo entre referências).
Passo 6
Recapitulando os valores com clareza:
-
é imenso: . -
é extremamente próximo de : , ou numericamente com diferença de ordem em relação a . - Tempo na Terra:
anos - Tempo no próton:
Força aí — é sempre impressionante: partículas ultra‑relativísticas “vivem” trajetórias galácticas em segundos no próprio referencial!
Resposta
(a)
(b)
(c)