O próton de maior energia detectado até hoje nos raios cósmicos possuía a espantosa energia cinética de 3,0 \times 10^{20} \mathrm{eV} (energia suficiente para aquecer de alguns graus Celsius uma colher de chá de água).
a) Determine o fator de Lorentz \gamma e a velocidade v da partícula em relação à Terra.
b) Suponha que o próton tenha percorrido uma distância igual ao diâmetro da Via Láctea ( 9,8 \times 10^{4} anos-luz). Quanto tempo o próton levou para cobrir essa distância, do ponto de vista de um observador terrestre?
c) Quanto tempo o próton levou para percorrer essa distância no referencial de repouso?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) o fator de Lorentz \gamma e a velocidade v do próton em relação à Terra, sabendo que a energia cinética é \,3,0\times10^{20}\,\mathrm{eV}.
  • (b) o tempo que o próton levou para percorrer uma distância igual ao diâmetro da Via Láctea, \,9,8\times10^{4} anos‑luz, medido por um observador terrestre.
  • (c) o tempo que o próton mediu para percorrer essa mesma distância (tempo próprio no referencial de repouso da partícula).
Informações e constantes dadas/usadas:
  • Energia cinética do próton: \,K=3,0\times10^{20}\,\mathrm{eV}.
  • Energia de repouso do próton (conhecida): \,m c^{2}=938\\ \mathrm{MeV}=9,38\times10^{8}\,\mathrm{eV}. (estou usando este valor padrão do próton)
  • Diâmetro da Via Láctea: \,D=9,8\times10^{4} anos‑luz (dado no enunciado).
  • Velocidade da luz: vou usar \,c=2,998\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.
  • Conversão de 1 ano para segundos: \,1\,\text{ano}=365{,}25\times24\times3600=3,15576\times10^{7}\,\mathrm{s}.
Observação: todas as contas relativísticas serão feitas usando as fórmulas padrão da relatividade restrita.

Passo 2

Cálculo do fator de Lorentz \gamma.
Explicação da fórmula: a energia total de uma partícula relativística é \,E=\gamma m c^{2}. A energia cinética é \,K=E-mc^{2}=(\gamma-1)mc^{2}. Logo,
\gamma = 1+\frac{K}{m c^{2}}.
Agora substituímos os valores (tudo em eV para cancelar unidades):
\gamma = 1+\frac{3,0\times10^{20}}{9,38\times10^{8}}.
Faço a divisão:
\frac{3,0\times10^{20}}{9,38\times10^{8}}=3,197\times10^{11}.
Como o termo 1 é insignificante comparado a 3,197\times10^{11}, temos
\gamma \approx 3,197\times10^{11}.

Passo 3

Cálculo da velocidade v a partir de \gamma.
Fórmula e derivação: por definição,
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Isolando v,
\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}} \quad\text{ou}\quad v=c\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}.
Como \gamma é enorme ( \sim3,2\times10^{11}), o termo \dfrac{1}{\gamma^{2}} é extremamente pequeno e podemos usar a aproximação de binômio para entender quão perto de c está v:
\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}\quad\text{para }x\ll1.
Aqui x=\dfrac{1}{\gamma^{2}}, então
\frac{v}{c}\approx 1-\frac{1}{2\gamma^{2}}.
Calculo numérico de 1/(2\gamma^{2}):
\frac{1}{2\gamma^{2}}=\frac{1}{2(3,197\times10^{11})^{2}}=4,89\times10^{-24}.
Portanto
v\approx c\left(1-4,89\times10^{-24}\right).
Em termos de valor em \mathrm{m/s},
v\approx 2,998\times10^{8}\,\mathrm{m/s}\quad\text{(com uma diferença de ordem }1,47\times10^{-15}\,\mathrm{m/s}\text{ em relação a }c\text{).}ççã

Passo 4

Tempo medido por um observador terrestre para o próton atravessar o diâmetro da Via Láctea.
Estratégia: no referencial terrestre o tempo é simplesmente
t_{\text{Terra}}=\frac{D}{v}.
Como D está em anos‑luz, uma forma direta é notar que uma luz levaria exatamente D anos para percorrer D anos‑luz. Como v está a uma fração \dfrac{v}{c} de c, o tempo será
t_{\text{Terra}}=\frac{D}{v}=\frac{D}{c}\frac{c}{v}=\left(D\\ \text{anos}\right)\frac{1}{v/c}.
Como v/c\approx1-4,89\times10^{-24}, \dfrac{1}{v/c}\approx1+4,89\times10^{-24} (diferença insignificante). Assim numericamente:
  • em anos:
t_{\text{Terra}}\approx 9,8\times10^{4}\\ \text{anos}.
  • em segundos (para um número absoluto): primeiro converto D para segundos:
D=9,8\times10^{4}\\ \text{anos}\times 3,15576\times10^{7}\,\mathrm{s/ano}=3,09\times10^{12}\,\mathrm{s}.
Como v\approx c, o tempo em segundos é praticamente o mesmo:
t_{\text{Terra}}\approx 3,09\times10^{12}\,\mathrm{s}.
A correção por v<c muda esse valor por uma quantidade da ordem de 10^{-11}\,\mathrm{s}, desprezível para nossas unidades.

Passo 5

Tempo próprio do próton (tempo medido no referencial de repouso da partícula).
Conceito e fórmula: devido à dilatação do tempo, um intervalo medido no referencial da Terra t_{\text{Terra}} corresponde a um intervalo menor no referencial da partícula:
t_{\text{próton}}=\frac{t_{\text{Terra}}}{\gamma}.ó
Substituindo os valores numéricos (uso o tempo em segundos para ficar direto):
t_{\text{próton}}=\frac{3,09\times10^{12}\,\mathrm{s}}{3,197\times10^{11}}.ó
Fazendo a divisão:
t_{\text{próton}}\approx 9,67\\ \mathrm{s}.ó
Interpretação física rápida: embora, para nós, o próton leve \sim9,8\times10^{4} anos para atravessar a galáxia, no referencial do próprio próton esse percurso leva apenas alguns segundos graças à enorme contração temporal (ou, visto de outro modo, à enorme dilatação do tempo entre referências).

Passo 6

Recapitulando os valores com clareza:
  • \gamma é imenso: \sim3,197\times10^{11}.
  • v é extremamente próximo de c: v\approx c\left(1-4,89\times10^{-24}\right), ou numericamente v\approx2,998\times10^{8}\,\mathrm{m/s} com diferença de ordem 1,47\times10^{-15}\,\mathrm{m/s} em relação a c.
  • Tempo na Terra: \approx9,8\times10^{4} anos \approx3,09\times10^{12}\,\mathrm{s}.
  • Tempo no próton: \approx9,67\,\mathrm{s}.
Força aí — é sempre impressionante: partículas ultra‑relativísticas “vivem” trajetórias galácticas em segundos no próprio referencial!

Resposta

(a) \gamma\approx3,197\times10^{11}.
\;v\approx c\left(1-4,89\times10^{-24}\right)\approx2,998\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.
(b) t_{\text{Terra}}\approx9,8\times10^{4}\\ \text{anos}=3,09\times10^{12}\,\mathrm{s}.
(c) t_{\text{próton}}\approx9,67\\ \mathrm{s}.ó

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