Uma sonda interplanetária de massa m=50.000 \mathrm{~kg} foi lançada em direção a Plutão com uma velocidade u=0,8 c.
a) Qual é o momento da nave no referencial da base de lançamento?
b) Se a velocidade da sonda é reduzida para 0,4c ao se aproximar de Plutão, qual é o novo valor do momento?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Calcular o momento linear da sonda no referencial da base de lançamento quando a velocidade é \,u=0,8\,c.
  • (b) Calcular o momento linear da mesma sonda quando sua velocidade passa a ser \,v=0,4\,c ao se aproximar de Plutão.
Informações fornecidas:
m = 50.000\\ \mathrm{kg}, \qquad u = 0,8\,c, \qquad v = 0,4\,c.
Vou usar para o comprimento de referência a velocidade da luz
c = 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Conceito e fórmula que precisamos (aula rápida e sem pânico):
  • Na mecânica clássica usamos \,p = m v para o momento linear, onde:
    p \text{ é o momento (kg·m/s),} \quad m \text{ é a massa (kg),} \quad v \text{ é a velocidade (m/s).}ééé
    Mas quando a velocidade se aproxima de uma fração significativa de \,c, a mecânica clássica falha: precisamos da fórmula relativística.
  • Na relatividade especial o momento é dado por
    p = \gamma\, m v,
    onde \gamma (fator de Lorentz) é
    \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}.
    Aqui \,v é a velocidade da sonda no referencial considerado e \,c é a velocidade da luz. O fator \gamma corrige o momento para velocidades altas: quanto mais próximo de \,c, maior \gamma e maior o momento em relação ao caso clássico.
Explicando as variáveis de forma bem direta:
\gamma \text{ é adimensional (número sem unidades),} \quad m \text{ em kg,} \quad v \text{ em m/s,} \quad p \text{ em kg·m/s.}éú

Passo 3

Cálculo para o caso (a): \,u=0,8\,c.
Primeiro calculemos \beta = \dfrac{u}{c}:
\beta = 0,8.
Agora o fator \gamma:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-0,8^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-0,64}} = \frac{1}{\sqrt{0,36}} = \frac{1}{0,6} = 1,666\ldots = \frac{5}{3}.
Usando p=\gamma m u:
p_{a} = \gamma \, m \, u = \frac{5}{3}\cdot 50.000 \cdot 0,8\,c.
Simplificando a parte numérica:
\frac{5}{3}\cdot 0,8 = \frac{4}{3},
portanto
p_{a} = \frac{4}{3}\cdot 50.000\cdot c = \left(\frac{200.000}{3}\right) c = 66.666{,}666\ldots \, c.

Passo 4

Convertemos para unidades SI multiplicando por c:
p_{a} = 66.666{,}666\ldots \times 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Fazendo a multiplicação:
p_{a} = 2,00\times10^{13}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
(obs.: o resultado foi arredondado a três algarismos significativos; se quiser mais casas dá para expandir, mas esse é adequado para provas.)

Passo 5

Cálculo para o caso (b): \,v=0,4\,c.
Primeiro \beta = \dfrac{v}{c} = 0,4.
Fator \gamma:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0,4^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-0,16}} = \frac{1}{\sqrt{0,84}} \approx 1,091089\ldots
Agora p=\gamma m v:
p_{b} = \gamma \, m \, v \approx 1,091089 \cdot 50.000 \cdot 0,4\,c.

Passo 6

Façamos as multiplicações passo a passo:
1,091089 \times 0,4 \approx 0,4364356,
0,4364356 \times 50.000 \approx 21.821{,}78,
portanto
p_{b} \approx 21.821{,}78 \, c.
Convertendo para SI:
p_{b} \approx 21.821{,}78 \times 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{kg\cdot m/s} \approx 6,55\times10^{12}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 7

Interpretação rápida (para te dar segurança):
  • Se tivéssemos usado a fórmula clássica p=mv, obteríamos valores menores: para 0,8c clássico daria 1,20\times10^{13}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}, enquanto o correto relativístico é 2,00\times10^{13}, bem maior — isso mostra por que a correção relativística é importante a velocidades altas.
  • Para 0,4c a diferença entre clássico e relativístico é menor, mas ainda perceptível: clássico daria 6,00\times10^{12} e o relativístico dá 6,55\times10^{12}.
Vai dar certo na prova — aprenda o passo: calcular \gamma e depois aplicar p=\gamma m v. Pronto!

Resposta

(a) \,2,00\times10^{13}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
(b) \,6,55\times10^{12}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}

Exercícios relacionados