Um próton está se movendo em uma região onde existem um campo magnético e um campo elétrico, ambos uniformes. O campo magnético é \vec{B}=-2,50_{\mathrm{i}} \mathrm{mT}. Em um dado instante, a velocidade do próton é \vec{v}=2000_{\mathrm{j}}^{\hat{j}} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Nesse instante, em termos dos vetores unitários, qual é a força que age sobre o próton se o campo elétrico é
4,00_{\hat{\mathrm{k}}} \mathrm{V} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado pede a força que age num próton (carga q=+1,602\times10^{-19}\,\mathrm{C}) que se move com velocidade \vec v=2000\,\hat{\jmath}\,\mathrm{m/s} numa região com campo magnético uniforme \vec B=-2,50\,\hat{\imath}\,\mathrm{mT} e campo elétrico uniforme \vec E=4,00\,\hat{k}\,\mathrm{V/m}. O conteúdo principal é a força de Lorentz, dada por
\vec F=q\bigl(\vec E+\vec v\times\vec B\bigr).

Passo 2

Primeiro convertemos o campo magnético para tesla:
\vec B=-2,50\times10^{-3}\,\hat{\imath}\,\mathrm{T}.
Mantemos \vec v=2000\,\hat{\jmath}\,\mathrm{m/s} e \vec E=4,00\,\hat{k}\,\mathrm{V/m}.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial \vec v\times\vec B:
\vec v\times\vec B =\begin{vmatrix} \hat{\imath}&\hat{\jmath}&\hat{k}\\\\ 0&2000&0\\\\ -2{,}50\times10^{-3}&0&0 \end{vmatrix} =5{,}00\,\hat{k}\quad(\mathrm{V/m}).

Passo 4

Agora a força magnética é
\vec F_{B}=q\,(\vec v\times\vec B) =(1,602\times10^{-19}\,\mathrm{C})\,(5,00\,\hat{k}) =8,01\times10^{-19}\,\hat{k}\,\mathrm{N},
e a força elétrica é
\vec F_{E}=q\,\vec E =(1,602\times10^{-19}\,\mathrm{C})\,(4,00\,\hat{k}) =6,41\times10^{-19}\,\hat{k}\,\mathrm{N}.

Passo 5

Somando as duas contribuições em cada componente, como só há componente em \hat{k}, vêm
\vec F=\vec F_{E}+\vec F_{B} =(6,41+8,01)\times10^{-19}\,\hat{k}\,\mathrm{N} =1,441\times10^{-18}\,\hat{k}\,\mathrm{N}.

Resposta

\vec F=1,44\times10^{-18}\,\hat{k}\,\mathrm{N}.

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