Questão 3 (2 pontos): Um pêndulo simples de massa
e comprimento
é liberado de um ângulo de
com o éixo vertical e colide com outro pêndulo com o dobro da sua massa em repouso em sua posição de equilíbrio. Numa colisão elástica, calcule a altura
que o segundo pêndulo sobe, a partir da posição de equilíbrio, quando o primeíro pêndulo retorna para um ângulo de
com a vertical após a colisão.
Considere
Considere
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
-
Dados fornecidos:
- Massa do primeiro pêndulo:
. - Massa do segundo pêndulo:
. - Comprimento dos pêndulos:
. - Aceleração da gravidade:
. - O primeiro pêndulo é liberado do ângulo
com a vertical e, ao chegar na posição de equilíbrio (vertical), colide com o segundo pêndulo que está em repouso na posição de equilíbrio. - Após a colisão, o enunciado diz que o primeiro pêndulo “retorna para um ângulo de
com a vertical” (essa informação será verificada depois). - A colisão é dita ser elástica.
- Massa do primeiro pêndulo:
-
O que é pedido:
- Calcular a altura
que o segundo pêndulo sobe, a partir da posição de equilíbrio, após a colisão.
- Calcular a altura
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a velocidade do primeiro pêndulo no instante imediatamente antes da colisão (ou seja, ao passar pela posição vertical). Usamos conservação de energia mecânica para o pêndulo que cai de um ângulo
até a vertical:
Em fórmulas: se a massa parte do repouso em
, a velocidade
ao passar pela vertical é
Aqui
é a aceleração da gravidade,
é o comprimento do pêndulo e
é o ângulo inicial com a vertical.
Para
:
Portanto, a velocidade do primeiro pêndulo imediatamente antes da colisão é
Passo 3
Agora tratamos a colisão elástica unidimensional entre duas massas:
com velocidade inicial
e
em repouso (
). Em colisão elástica em uma dimensão aplicam-se conservação do momento linear e conservação da energia cinética. Para o caso em que a segunda massa está inicialmente em repouso, existem fórmulas padrão para as velocidades após a colisão:
(Se quiser, dá para obter essas fórmulas resolvendo as duas equações de conservação simultaneamente; aqui eu as apresento e depois aplico.)
Substituindo
,
e
:
Interpretação física do sinal:
indica que o primeiro pêndulo, imediatamente após a colisão, reverte o sentido do movimento (ou seja, “rebate” e vai para o lado oposto). O segundo pêndulo sai com velocidade positiva
.
Passo 4
A altura máxima
alcançada pelo segundo pêndulo, medida a partir da posição de equilíbrio, é obtida convertendo a energia cinética inicial do segundo pêndulo (logo após a colisão) em energia potencial gravitacional no ponto mais alto:
Cancelando
e resolvendo para
temos
Substituindo
e
:
Assim, pela conservação (momento + energia cinética) numa colisão elástica, o segundo pêndulo sobe até
Passo 5
Verificação da informação extra sobre o primeiro pêndulo: o enunciado afirma que “o primeiro pêndulo retorna para um ângulo de
com a vertical após a colisão”. Vamos conferir se isto é consistente com os resultados da colisão elástica.
A velocidade do primeiro pêndulo logo após a colisão, calculada acima, é
(o sinal negativo indica inversão do sentido). O valor absoluto é
. A energia cinética desse pêndulo após a colisão é
, que se transforma em energia potencial quando ele sobe até o ângulo máximo
tal que
Cancelando
e isolando
:
Com
,
, obtemos
Isto leva a
Conclusão: com massas
e
e colisão elástica, o primeiro pêndulo deveria subir até cerca de
, não até
. Ou seja, a afirmação de que ele “retorna para
” é inconsistente com a hipótese de colisão perfeitamente elástica e com as massas
e
. Portanto os dados “colisão elástica” + “segunda massa =
” + “primeiro volta a
” não podem ser todos verdadeiros ao mesmo tempo.
No entanto, se a pergunta principal é apenas a altura
que o segundo pêndulo sobe supondo colisão elástica e massas dadas (o que é o enunciado clássico), então o resultado calculado no Passo 4 é o que vale.