Questão 3 (2 pontos): Um pêndulo simples de massa M e comprimento L=0,10 \mathrm{~m} é liberado de um ângulo de 60^{\circ} com o éixo vertical e colide com outro pêndulo com o dobro da sua massa em repouso em sua posição de equilíbrio. Numa colisão elástica, calcule a altura h que o segundo pêndulo sobe, a partir da posição de equilíbrio, quando o primeíro pêndulo retorna para um ângulo de 30^{\circ} com a vertical após a colisão.
Considere g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Dados fornecidos:
    • Massa do primeiro pêndulo: M.
    • Massa do segundo pêndulo: 2M.
    • Comprimento dos pêndulos: L=0,10\\ \mathrm{m}.
    • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • O primeiro pêndulo é liberado do ângulo \,60^\circ com a vertical e, ao chegar na posição de equilíbrio (vertical), colide com o segundo pêndulo que está em repouso na posição de equilíbrio.
    • Após a colisão, o enunciado diz que o primeiro pêndulo “retorna para um ângulo de \,30^\circ com a vertical” (essa informação será verificada depois).
    • A colisão é dita ser elástica.
  • O que é pedido:
    • Calcular a altura h que o segundo pêndulo sobe, a partir da posição de equilíbrio, após a colisão.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a velocidade do primeiro pêndulo no instante imediatamente antes da colisão (ou seja, ao passar pela posição vertical). Usamos conservação de energia mecânica para o pêndulo que cai de um ângulo \theta até a vertical:
\text{energia potencial perdida} = \text{energia cinética ganha}é
Em fórmulas: se a massa parte do repouso em \theta, a velocidade v ao passar pela vertical é
v=\sqrt{2gL\bigl(1-\cos\theta\bigr)}.
Aqui g é a aceleração da gravidade, L é o comprimento do pêndulo e \theta é o ângulo inicial com a vertical.
Para \theta=60^\circ:
\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad v_1=\sqrt{2\cdot 10\cdot 0,10\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)}=\sqrt{1}=1{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Portanto, a velocidade do primeiro pêndulo imediatamente antes da colisão é \,v_1=1{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora tratamos a colisão elástica unidimensional entre duas massas: m_1=M com velocidade inicial v_1 e m_2=2M em repouso ( v_2=0). Em colisão elástica em uma dimensão aplicam-se conservação do momento linear e conservação da energia cinética. Para o caso em que a segunda massa está inicialmente em repouso, existem fórmulas padrão para as velocidades após a colisão:
v_{1}'=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,v_1, \qquad v_{2}'=\frac{2m_1}{m_1+m_2}\,v_1.
(Se quiser, dá para obter essas fórmulas resolvendo as duas equações de conservação simultaneamente; aqui eu as apresento e depois aplico.)
Substituindo m_1=M, m_2=2M e v_1=1{,}0\\ \mathrm{m/s}:
v_{1}'=\frac{M-2M}{M+2M}\cdot 1{,}0=\frac{-1}{3}\cdot 1{,}0=-0{,}333\ldots\\ \mathrm{m/s},
v_{2}'=\frac{2M}{M+2M}\cdot 1{,}0=\frac{2}{3}\cdot 1{,}0=0{,}666\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física do sinal: v_{1}'<0 indica que o primeiro pêndulo, imediatamente após a colisão, reverte o sentido do movimento (ou seja, “rebate” e vai para o lado oposto). O segundo pêndulo sai com velocidade positiva v_{2}'\approx 0{,}667\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

A altura máxima h alcançada pelo segundo pêndulo, medida a partir da posição de equilíbrio, é obtida convertendo a energia cinética inicial do segundo pêndulo (logo após a colisão) em energia potencial gravitacional no ponto mais alto:
\frac{1}{2}m_2 v_{2}'^{\,2}=m_2 g h.
Cancelando m_2 e resolvendo para h temos
h=\frac{v_{2}'^{\,2}}{2g}.
Substituindo v_{2}'=\tfrac{2}{3}\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}:
v_{2}'^{\,2}=\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}=\tfrac{4}{9},
h=\frac{\tfrac{4}{9}}{2\cdot 10}=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{20}=\frac{4}{180}=\frac{2}{90}=0{,}0222\ldots\\ \mathrm{m}.
Assim, pela conservação (momento + energia cinética) numa colisão elástica, o segundo pêndulo sobe até
h\approx 0{,}0222\\ \mathrm{m}\quad(\text{ou }2{,}22\\ \text{cm}).

Passo 5

Verificação da informação extra sobre o primeiro pêndulo: o enunciado afirma que “o primeiro pêndulo retorna para um ângulo de 30^\circ com a vertical após a colisão”. Vamos conferir se isto é consistente com os resultados da colisão elástica.
A velocidade do primeiro pêndulo logo após a colisão, calculada acima, é v_{1}'=-\tfrac{1}{3}\\ \mathrm{m/s} (o sinal negativo indica inversão do sentido). O valor absoluto é |v_{1}'|=\tfrac{1}{3}\\ \mathrm{m/s}. A energia cinética desse pêndulo após a colisão é \tfrac{1}{2}M v_{1}'^{2}, que se transforma em energia potencial quando ele sobe até o ângulo máximo \theta_{\max} tal que
\frac{1}{2}M v_{1}'^{2}=M g L\bigl(1-\cos\theta_{\max}\bigr).
Cancelando M e isolando \cos\theta_{\max}:
1-\cos\theta_{\max}=\frac{v_{1}'^{2}}{2gL}.
Com v_{1}'^{2}=\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{9}, 2gL=2\cdot 10\cdot 0,10=2, obtemos
1-\cos\theta_{\max}=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{18}\approx 0{,}0555556,
\cos\theta_{\max}=1-\frac{1}{18}=\frac{17}{18}\approx 0{,}94444.
Isto leva a
\theta_{\max}=\operatorname{arccos}\!\bigl(0{,}94444\bigr)\approx 19{,}1^\circ.
Conclusão: com massas M e 2M e colisão elástica, o primeiro pêndulo deveria subir até cerca de 19{,}1^\circ, não até 30^\circ. Ou seja, a afirmação de que ele “retorna para 30^\circ” é inconsistente com a hipótese de colisão perfeitamente elástica e com as massas M e 2M. Portanto os dados “colisão elástica” + “segunda massa = 2M” + “primeiro volta a 30^\circ” não podem ser todos verdadeiros ao mesmo tempo.
No entanto, se a pergunta principal é apenas a altura h que o segundo pêndulo sobe supondo colisão elástica e massas dadas (o que é o enunciado clássico), então o resultado calculado no Passo 4 é o que vale.

Resposta

h=0,0222\\ \mathrm{m}

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