(Prova 2017.1) Um produtor de sementes vende pacotes com 10 sementes cada. Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar serão indenizados. Admita que a probabilidade de uma semente germinar é 0,95 .
a) Qual é a probabilidade de um pacote não ser indenizado?
b) Quando o pacote é indenizado, o produtor tem um prejuízo de R 1,20 e se o pacote não for indenizado ele tem um lucro deãR 2,50. Qual é o lucro líquido esperado por pacote?

Passo 1

O enunciado fala de pacotes com 10 sementes, cada uma germina com probabilidade 0,95. O pacote é indenizado se tiver mais de uma semente sem germinar, ou seja, pelo menos 2 fracassos. Vamos modelar o número de fracassos como uma variável binomial e calcular:
a) a probabilidade de não haver indenização (0 ou 1 fracasso)
b) o lucro esperado por pacote, sabendo que em caso de indenização o produtor perde R$1,20 e, caso contrário, lucra R$ 2,50.

Passo 2

Seja Y o número de sementes que não germinam em um pacote de 10, então
Y \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=10,\;p=0,05\bigr).
Não há indenização quando Y\le1.

Passo 3

A probabilidade de um pacote não ser indenizado é
P(Y\le1) = P(Y=0) + P(Y=1) = \binom{10}{0}(0,05)^{0}(0,95)^{10} + \binom{10}{1}(0,05)^{1}(0,95)^{9}.

Passo 4

Calculando numericamente:
P(Y=0) = (0,95)^{10} \approx 0,5987, \quad P(Y=1) = 10 \cdot 0,05 \cdot (0,95)^{9} \approx 0,3151,
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P(\text{não indenizado}) = 0,5987 + 0,3151 \approx 0,9138.ã

Passo 5

Definimos o lucro L\) por pacote como \[L = \begin{cases} +2,50, & \text{se não for indenizado},\\\\ -1,20, & \text{se for indenizado}. \end{cases}
Então o lucro esperado é
E[L] = 2,50\cdot P(\text{não indenizado}) + (-1,20)\cdot P(\text{indenizado})ã
com (P(indenizado)=1 - P(não indenizado)].

Passo 6

Substituindo os valores:
P(\text{não indenizado})\approx0,9138, \quad P(\text{indenizado})\approx0,0862,ã
E[L] = 2,50\cdot0,9138 - 1,20\cdot0,0862 \approx 2,2845 - 0,1034 \approx 2,1811.

Resposta

a) P(\text{não indenizado})\approx0,9138.ã
b) O lucro líquido esperado por pacote é aproximadamente R$ 2,18.

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