Suponha que um aluno pretende fazer um teste de múltipla escolha com 10 questões e cinco alternativas por questão respondendo cada uma das questões de forma aleatória.
(a) Qual a probabilidade do aluno não acertar nenhuma questão?
(b) Qual a probabilidade do aluno acertar pelo menos 5 questões?
(c) Qual a quantidade de questões que espera-se que o aluno acerte?

Passo 1

O enunciado descreve um teste de múltipla escolha com 10 questões e 5 alternativas cada, respondidas ao acaso. Sejam os acertos X. Cada questão é tentativa de Bernoulli com probabilidade de sucesso p=1/5 e insucesso q=4/5. Logo, X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=10 e p=1/5.

Passo 2

Para a probabilidade de não acertar nenhuma questão, calculamos
P(X=0)=\binom{10}{0}\bigl(1/5\bigr)^{0}\bigl(4/5\bigr)^{10}=\bigl(4/5\bigr)^{10}.

Passo 3

Para a probabilidade de acertar pelo menos 5 questões, somamos as probabilidades de X=k para k=5,6,\dots,10:
P(X\ge5)=\sum_{k=5}^{10}\binom{10}{k}\bigl(1/5\bigr)^{k}\bigl(4/5\bigr)^{10-k}.

Passo 4

O valor esperado de X em uma distribuição binomial é
E(X)=n\,p=10\cdot\frac{1}{5}=2.

Resposta

(a) \displaystyle P(X=0)=\bigl(4/5\bigr)^{10}\approx0,1074
(b) \displaystyle P(X\ge5)=\sum_{k=5}^{10}\binom{10}{k}\bigl(1/5\bigr)^{k}\bigl(4/5\bigr)^{10-k}\approx0,0328
(c) \displaystyle E(X)=2

Exercícios relacionados