4-(20 pontos) Sabendo que s_{n \mid i}=\frac{(1+i)^{n}-1}{i} e fixando i, com 0<i<1, mostre que s_{n \mid i}+(1+i)^{n}=s_{n+1 \mid i}. Conclua que f(n)=s_{n \mid i} é uma função crescente.

Passo 1

O enunciado define, para 0<i<1,
s_{n\mid i} = \frac{(1+i)^{n}-1}{i}
e pede para mostrar que
s_{n\mid i} + (1+i)^{n} = s_{n+1\mid i}
e, a partir disso, concluir que a função f(n)=s_{n\mid i} é crescente.

Passo 2

Vamos somar s_{n\mid i} e (1+i)^{n}:
s_{n\mid i} + (1+i)^n = \frac{(1+i)^n - 1}{i} + (1+i)^n = \frac{(1+i)^n - 1 + i\,(1+i)^n}{i} = \frac{(1+i)^n\,(1+i) - 1}{i} = \frac{(1+i)^{n+1} - 1}{i}.
Mas \frac{(1+i)^{n+1}-1}{i} é precisamente s_{n+1\mid i}. Isso prova a relação desejada.

Passo 3

Da relação obtida segue
f(n+1)-f(n) = s_{n+1\mid i} - s_{n\mid i} = (1+i)^n.
Como 0<i<1, temos (1+i)^n>0 para todo n. Logo
f(n+1)>f(n)
e f é estritamente crescente.

Resposta

A função f(n)=s_{n\mid i} é crescente em n.

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