(2,0)( Prova 2025.1) A seguir, são descritas quatro situações práticas relacionadas a problemas da engenharia. Para cada uma delas, identifique qual modelo probabilístico discreto é o mais adequado entre as opções: binomial, hipergeométrico, geométrico ou Poisson.
Engenharia de Produção: Uma fábrica possui um lote de 50 peças, das quais 5 são defeituosas. Um engenheiro seleciona 10 peças para teste, sem reposição, e deseja saber a probabilidade de encontrar exatamente 2 peças defeituosas.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
    • Tamanho do lote (população): N=50.
    • Número de peças defeituosas no lote: K=5.
    • Tamanho da amostra selecionada (sem reposição): n=10.
    • Evento de interesse: exatamente k=2 peças defeituosas na amostra de 10.
  • O que o enunciado pede:
    • Identificar qual dos modelos discretos {binomial, hipergeométrico, geométrico, Poisson} é o mais adequado para modelar essa situação.
    • (Vou também calcular a probabilidade de exatamente 2 defeituosas, para ficar completo e didático.)

Passo 2

Rápida revisão dos modelos (cada definição com o que significa cada símbolo):
  • Binomial: modelo de n ensaios independentes com mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória X conta o número de sucessos em n ensaios e
\Pr(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}.
Aqui n é o número de tentativas, p a probabilidade de sucesso em cada tentativa (constante), e os ensaios são independentes.
  • Hipergeométrico: modelo quando se tira uma amostra de tamanho n de uma população finita de tamanho N que contém K sucessos no total, sem reposição. A variável X conta quantos sucessos aparecem na amostra e
\Pr(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}.
Aqui N é o tamanho da população, K o número de sucessos na população, n o tamanho da amostra (sem reposição) e k o número de sucessos observados.
  • Geométrico: conta o número de ensaios até o primeiro sucesso numa sequência de ensaios independentes com probabilidade p por ensaio. Fórmula distinta; não se aplica quando já se fixa o número de ensaios.
  • Poisson: modelo para contagens de eventos em intervalos de tempo/espaço quando eventos são raros e independentes; tem parâmetro \lambda. Não é o modelo indicado quando se conhece o número fixo de itens na população e se faz amostragem sem reposição.

Passo 3

Decisão do modelo adequado:
  • Observação crucial: a amostragem é feita “sem reposição” de um lote finito de N=50. Isso quebra a independência entre as retiradas (a probabilidade de sucesso muda conforme se retira uma peça defeituosa ou não).
  • Além disso, sabemos exatamente quantos sucessos existem no lote ( K=5).
Essas duas características (população finita com K sucessos conhecidos e amostragem sem reposição) fazem com que o modelo correto seja o modelo hipergeométrico.
Portanto, a resposta ao pedido principal é: modelo hipergeométrico.

Passo 4

Escrever a fórmula hipergeométrica e explicar cada termo aplicado ao problema:
A fórmula geral é
\Pr(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}.
No nosso caso:
  • N=50 (tamanho do lote),
  • K=5 (número de defeituosas no lote),
  • n=10 (peças selecionadas),
  • k=2 (queremos exatamente 2 defeituosas).
Substituindo,
\Pr(X=2)=\frac{\binom{5}{2}\binom{50-5}{10-2}}{\binom{50}{10}} =\frac{\binom{5}{2}\binom{45}{8}}{\binom{50}{10}}.

Passo 5

Cálculo detalhado da fração combinatória, passo a passo, de forma que dê para fazer sem calculadora (fazer cancelamentos):
Primeiro, compute \binom{5}{2}:
\binom{5}{2}=10.
Agora escrevemos \binom{45}{8} e \binom{50}{10} em forma multiplicativa para poder cancelar fatores:
\binom{45}{8}=\frac{45\cdot44\cdot43\cdot42\cdot41\cdot40\cdot39\cdot38}{8!}, \qquad \binom{50}{10}=\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44\cdot43\cdot42\cdot41}{10!}.
Formando a razão e usando 10!/8!=10\cdot9, obtemos
\frac{\binom{45}{8}}{\binom{50}{10}} =\frac{45\cdot44\cdot43\cdot42\cdot41\cdot40\cdot39\cdot38}{8!}\cdot\frac{10!}{50\cdot49\cdot\cdots\cdot41} =\frac{10\cdot9\cdot(45\cdot44\cdot43\cdot42\cdot41\cdot40\cdot39\cdot38)} {50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44\cdot43\cdot42\cdot41}.
Agora cancelei os fatores comuns 45,44,43,42,41 entre numerador e denominador:
\frac{\binom{45}{8}}{\binom{50}{10}}=\frac{10\cdot9\cdot40\cdot39\cdot38}{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46}.
Multiplicando pelo \binom{5}{2}=10 inicial, a probabilidade vira
\Pr(X=2)=10\cdot\frac{10\cdot9\cdot40\cdot39\cdot38}{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46}.
Agora simplificamos passo a passo para evitar números enormes:
  • 10\cdot10\cdot9\cdot40\cdot39\cdot38 no numerador, e 50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46 no denominador.
  • Divida o numerador por 50: (10\cdot10\cdot9\cdot40)/50 = 10\cdot10\cdot9\cdot(40/50)=10\cdot10\cdot9\cdot(4/5)=720.
    Assim obtemos
\Pr(X=2)=\frac{720\cdot39\cdot38}{49\cdot48\cdot47\cdot46}.
  • Agora divida 720 por 48: 720/48=15. Então
\Pr(X=2)=\frac{15\cdot39\cdot38}{49\cdot47\cdot46}.
Calcule numerador e denominador:
  • Numerador: 15\cdot39\cdot38 = 15\cdot(39\cdot38).
    Primeiro 39\cdot38 = 39\cdot(40-2)=1560-78=1482.
    Então 15\cdot1482 = 1482\cdot10 + 1482\cdot5 = 14820 + 7410 = 22230.
  • Denominador: 49\cdot47\cdot46.
    Primeiro 49\cdot47 = 2303 (porque 50\cdot47-47 = 2350-47).
    Depois 2303\cdot46 = 2303\cdot(50-4)=115150-9212=105938.
Portanto
\Pr(X=2)=\frac{22230}{105938}.
Podemos reduzir por 2 (ambos pares):
\Pr(X=2)=\frac{11115}{52969}.

Passo 6

Interpretação numérica e conclusão:
  • Como fração exata temos \Pr(X=2)=\dfrac{11115}{52969}.
  • Em forma decimal aproximada,
\Pr(X=2)\approx 0{,}20984,
ou seja cerca de 20{,}98\%.
Isso significa que, ao retirar 10 peças sem reposição de um lote de 50 com 5 defeituosas, a chance de encontrar exatamente 2 defeituosas é aproximadamente 21\%.
Força aí — lembra: quando a amostragem é sem reposição e a população é finita com número conhecido de sucessos, pensa automaticamente em hipergeométrica; a binomial só vale se as retiradas fossem independentes (com reposição ou população muito grande comparada à amostra).

Resposta

Hipergeométrico
\displaystyle \Pr(X=2)=\frac{\binom{5}{2}\binom{45}{8}}{\binom{50}{10}}=\frac{11115}{52969}\approx0{,}20984

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