(2,0)( Prova 2025.1) A seguir, são descritas quatro situações práticas relacionadas a problemas da engenharia. Para cada uma delas, identifique qual modelo probabilístico discreto é o mais adequado entre as opções: binomial, hipergeométrico, geométrico ou Poisson.
Engenharia de Produção: Uma fábrica possui um lote de 50 peças, das quais 5 são defeituosas. Um engenheiro seleciona 10 peças para teste, sem reposição, e deseja saber a probabilidade de encontrar exatamente 2 peças defeituosas.
Engenharia de Produção: Uma fábrica possui um lote de 50 peças, das quais 5 são defeituosas. Um engenheiro seleciona 10 peças para teste, sem reposição, e deseja saber a probabilidade de encontrar exatamente 2 peças defeituosas.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Tamanho do lote (população):
. - Número de peças defeituosas no lote:
. - Tamanho da amostra selecionada (sem reposição):
. - Evento de interesse: exatamente
peças defeituosas na amostra de .
- Tamanho do lote (população):
-
O que o enunciado pede:
- Identificar qual dos modelos discretos {binomial, hipergeométrico, geométrico, Poisson} é o mais adequado para modelar essa situação.
- (Vou também calcular a probabilidade de exatamente
defeituosas, para ficar completo e didático.)
Passo 2
Rápida revisão dos modelos (cada definição com o que significa cada símbolo):
- Binomial: modelo de
ensaios independentes com mesma probabilidade de sucesso . A variável aleatória conta o número de sucessos em ensaios e
Aqui
é o número de tentativas,
a probabilidade de sucesso em cada tentativa (constante), e os ensaios são independentes.
- Hipergeométrico: modelo quando se tira uma amostra de tamanho
de uma população finita de tamanho que contém sucessos no total, sem reposição. A variável conta quantos sucessos aparecem na amostra e
Aqui
é o tamanho da população,
o número de sucessos na população,
o tamanho da amostra (sem reposição) e
o número de sucessos observados.
-
Geométrico: conta o número de ensaios até o primeiro sucesso numa sequência de ensaios independentes com probabilidade
por ensaio. Fórmula distinta; não se aplica quando já se fixa o número de ensaios. -
Poisson: modelo para contagens de eventos em intervalos de tempo/espaço quando eventos são raros e independentes; tem parâmetro
. Não é o modelo indicado quando se conhece o número fixo de itens na população e se faz amostragem sem reposição.
Passo 3
Decisão do modelo adequado:
- Observação crucial: a amostragem é feita “sem reposição” de um lote finito de
. Isso quebra a independência entre as retiradas (a probabilidade de sucesso muda conforme se retira uma peça defeituosa ou não). - Além disso, sabemos exatamente quantos sucessos existem no lote (
).
Essas duas características (população finita com
sucessos conhecidos e amostragem sem reposição) fazem com que o modelo correto seja o modelo hipergeométrico.
Portanto, a resposta ao pedido principal é: modelo hipergeométrico.
Passo 4
Escrever a fórmula hipergeométrica e explicar cada termo aplicado ao problema:
A fórmula geral é
No nosso caso:
-
(tamanho do lote), -
(número de defeituosas no lote), -
(peças selecionadas), -
(queremos exatamente defeituosas).
Substituindo,
Passo 5
Cálculo detalhado da fração combinatória, passo a passo, de forma que dê para fazer sem calculadora (fazer cancelamentos):
Primeiro, compute
:
Agora escrevemos
e
em forma multiplicativa para poder cancelar fatores:
Formando a razão e usando
, obtemos
Agora cancelei os fatores comuns
entre numerador e denominador:
Multiplicando pelo
inicial, a probabilidade vira
Agora simplificamos passo a passo para evitar números enormes:
-
no numerador, e no denominador. - Divida o numerador por
: .
Assim obtemos
- Agora divida
por : . Então
Calcule numerador e denominador:
- Numerador:
.
Primeiro.
Então. - Denominador:
.
Primeiro(porque ).
Depois.
Portanto
Podemos reduzir por
(ambos pares):
Passo 6
Interpretação numérica e conclusão:
- Como fração exata temos
. - Em forma decimal aproximada,
ou seja cerca de
.
Isso significa que, ao retirar
peças sem reposição de um lote de
com
defeituosas, a chance de encontrar exatamente
defeituosas é aproximadamente
.
Força aí — lembra: quando a amostragem é sem reposição e a população é finita com número conhecido de sucessos, pensa automaticamente em hipergeométrica; a binomial só vale se as retiradas fossem independentes (com reposição ou população muito grande comparada à amostra).
Resposta
Hipergeométrico