(prova final - 2023.1) Um engenheiro eletricista acredita que o tempo de vida de determinado componente eletrônico, em anos, pode ser modelado por um variável aleatória X com a seguinte função de densidade de probabilidade:
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{cc} e^{-x} & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\ k & \text { se } 1<x \leq 2 \\\\ 0 & \text { para quaisquer outros valores dex } \end{array}\right.
(a) Encontre o valor da constante k.
(b) Com o valor obtido no item anterior, determine a função de distribuição acumulada de X.
(c) Se o engenheiro eletricista tem 5 destes componentes, que funcionam de maneira independente, qual a probabilidade de que exatamente 3 deles funcionem mais que 1 ano e meio?

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X\) (tempo de vida, em anos) por partes: \[f_{X}(x)=\begin{cases} e^{-x}, & \text{se } 0 \le x \le 1,\\[4pt] k, & \text{se } 1 < x \le 2,\\[4pt] 0, & \text{para quaisquer outros valores de } x. \end{cases}
As perguntas são:
(a) encontrar a constante \;k\;\] que torna \(f_X uma densidade válida;
(b) com esse k, determinar a função de distribuição acumulada F_X(x)=P(X\le x) (a CDF), de forma explícita e peça‑por‑peça;
(c) supondo 5 componentes independentes idênticos, encontrar a probabilidade de que exatamente 3 deles funcionem mais que 1{,}5 anos.
Informações relevantes dadas:
  • A densidade é positiva apenas em [0,2], com duas expressões: e^{-x} em [0,1] e k em (1,2].
  • Para ser densidade, deve valer \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx=1.
  • Para o item (c) usaremos independência e modelo binomial: número de componentes que excedem 1{,}5 anos segue \mathrm{Binomial}(n=5,p) com p=P(X>1{,}5).]

Passo 2

Encontrar k pela condição de normalização da densidade: a área total sob f_X deve ser 1. Isso significa
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = \int_{0}^{1} e^{-x}\,dx \;+\; \int_{1}^{2} k\,dx \;=\; 1.
Vamos calcular as integrais. A primiera é a integral de e^{-x}:
\int_{0}^{1} e^{-x}\,dx = \bigl[-e^{-x}\bigr]_{0}^{1} = -e^{-1} - (-e^{0}) = 1 - e^{-1}.
A segunda integral é simples (constante k em intervalo de comprimento 1):
\int_{1}^{2} k\,dx = k\cdot(2-1) = k.
Somando:
1 - e^{-1} + k = 1 \quad\Longrightarrow\quad k = e^{-1}.
Comentário amigável: deu sorte — k ficou exatamente e^{-1}, o que também faz a densidade contínua em x=1 (valor à esquerda e^{-1}, à direita k=e^{-1}).

Passo 3

Definir a função de distribuição acumulada F_X(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,dt. Vamos construir F_X por intervalos.
  1. Para x<0: como f_X(t)=0 para t<0, tem-se
F_X(x)=0\quad\text{se } x<0.
  1. Para 0\le x \le 1: integra-se a densidade e^{-t} de 0 até x:
F_X(x)=\int_{0}^{x} e^{-t}\,dt = \bigl[-e^{-t}\bigr]_{0}^{x} = 1 - e^{-x}.
Aqui vale explicar rapidamente a integral: \int e^{-t}\,dt = -e^{-t} + C. Aplicando os limites obtemos 1 - e^{-x}. Isso dá uma interpretação direta: quanto maior x em [0,1], menor o termo e^{-x} e maior F_X(x), como deve ser.
  1. Para 1< x \le 2: a probabilidade até x é a probabilidade acumulada até 1 mais a área constante k de 1 até x:
F_X(x)=F_X(1)+\int_{1}^{x} k\,dt.
Já temos F_X(1)=1-e^{-1} do intervalo anterior, e k=e^{-1}. Então
F_X(x)=1-e^{-1} + e^{-1}\,(x-1).
Podemos deixar esta expressão assim (é clara) ou desenvolvê‑la:
F_X(x)=1 - e^{-1} + e^{-1}x - e^{-1} = 1 - 2e^{-1} + e^{-1}x,
mas a forma 1-e^{-1}+e^{-1}(x-1) evidencia a construção por áreas.
  1. Para x>2: toda a massa já foi acumulada, então
F_X(x)=1\quad\text{se } x>2.
Resumo da CDF em forma peça‑por‑peça (mantendo a forma mais interpretável):
F_X(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 1 - e^{-x}, & 0\le x \le 1,\\[6pt] 1 - e^{-1} + e^{-1}(x-1), & 1< x \le 2,\\[6pt] 1, & x>2. \end{cases}]

Passo 4

Precisamos de p=P(X>1{,}5) para usar o modelo binomial no item (c). Usamos a CDF:
P(X>1{,}5)=1 - F_X(1{,}5).
Como 1{,}5\in(1,2], usamos a expressão correspondente:
F_X(1{,}5)=1 - e^{-1} + e^{-1}(1{,}5-1) = 1 - e^{-1} + e^{-1}\cdot 0{,}5 = 1 - 0{,}5\,e^{-1}.
Logo
P(X>1{,}5) = 1 - \bigl(1 - 0{,}5\,e^{-1}\bigr) = 0{,}5\,e^{-1} = \frac{e^{-1}}{2}.
Comentário: é curioso e conveniente que a probabilidade de ultrapassar 1{,}5 seja exatamente metade de e^{-1}.

Passo 5

Agora o experimento com 5 componentes independentes: cada componente tem probabilidade p=\dfrac{e^{-1}}{2} de durar mais que 1{,}5 anos. O número Y de componentes (entre os 5) que duram mais que 1{,}5 anos segue uma distribuição binomial \mathrm{Binomial}(n=5,p). A probabilidade de exatamente 3 sucessos é
P(Y=3)=\binom{5}{3} p^{3} (1-p)^{2}.
Substituindo p=\dfrac{e^{-1}}{2}:
P(Y=3)=\binom{5}{3}\left(\frac{e^{-1}}{2}\right)^{3}\left(1-\frac{e^{-1}}{2}\right)^{2}.
Podemos também dar uma aproximação numérica. Primeiro calcule p\approx 0{,}1839397 (pois e^{-1}\approx 0{,}3678794), então
P(Y=3)\approx 10\cdot (0{,}1839397)^{3}\cdot(0{,}8160603)^{2}\approx 0{,}04149.

Resposta

(a) k=e^{-1}
(b) F_X(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 1 - e^{-x}, & 0\le x \le 1,\\[6pt] 1 - e^{-1} + e^{-1}(x-1), & 1< x \le 2,\\[6pt] 1, & x>2. \end{cases}
(c) P(\text{exatamente 3 de 5 duram }>\!1{,}5)=\binom{5}{3}\left(\frac{e^{-1}}{2}\right)^{3}\left(1-\frac{e^{-1}}{2}\right)^{2}\approx 0,04149.]

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