(prova final - 2023.1) Um engenheiro eletricista acredita que o tempo de vida de determinado componente eletrônico, em anos, pode ser modelado por um variável aleatória X com a seguinte função de densidade de probabilidade:
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{cc} e^{-x} & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\ k & \text { se } 1<x \leq 2 \\\\ 0 & \text { para quaisquer outros valores dex } \end{array}\right.
(a) Encontre o valor da constante k.
(b) Com o valor obtido no item anterior, determine a função de distribuição acumulada de X.
(c) Se o engenheiro eletricista tem 5 destes componentes, que funcionam de maneira independente, qual a probabilidade de que exatamente 3 deles funcionem mais que 1 ano e meio?
Passo 1
O enunciado dá a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X\) (tempo de vida, em anos) por partes:
\[f_{X}(x)=\begin{cases} e^{-x}, & \text{se } 0 \le x \le 1,\\[4pt] k, & \text{se } 1 < x \le 2,\\[4pt] 0, & \text{para quaisquer outros valores de } x. \end{cases}
As perguntas são:
(a) encontrar a constante \;k\;\] que torna \(f_X uma densidade válida;
(b) com esse k, determinar a função de distribuição acumulada F_X(x)=P(X\le x) (a CDF), de forma explícita e peça‑por‑peça;
(c) supondo 5 componentes independentes idênticos, encontrar a probabilidade de que exatamente 3 deles funcionem mais que 1{,}5 anos.
Informações relevantes dadas:
A densidade é positiva apenas em [0,2], com duas expressões: e^{-x} em [0,1] e k em (1,2].
Para ser densidade, deve valer \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx=1.
Para o item (c) usaremos independência e modelo binomial: número de componentes que excedem 1{,}5 anos segue \mathrm{Binomial}(n=5,p) com p=P(X>1{,}5).]
Passo 2
Encontrar k pela condição de normalização da densidade: a área total sob f_X deve ser 1. Isso significa
A segunda integral é simples (constante k em intervalo de comprimento 1):
\int_{1}^{2} k\,dx = k\cdot(2-1) = k.
Somando:
1 - e^{-1} + k = 1 \quad\Longrightarrow\quad k = e^{-1}.
Comentário amigável: deu sorte — k ficou exatamente e^{-1}, o que também faz a densidade contínua em x=1 (valor à esquerda e^{-1}, à direita k=e^{-1}).
Passo 3
Definir a função de distribuição acumulada F_X(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,dt. Vamos construir F_X por intervalos.
Para x<0: como f_X(t)=0 para t<0, tem-se
F_X(x)=0\quad\text{se } x<0.
Para 0\le x \le 1: integra-se a densidade e^{-t} de 0 até x:
Aqui vale explicar rapidamente a integral: \int e^{-t}\,dt = -e^{-t} + C. Aplicando os limites obtemos 1 - e^{-x}. Isso dá uma interpretação direta: quanto maior x em [0,1], menor o termo e^{-x} e maior F_X(x), como deve ser.
Para 1< x \le 2: a probabilidade até x é a probabilidade acumulada até 1 mais a área constante k de 1 até x:
F_X(x)=F_X(1)+\int_{1}^{x} k\,dt.
Já temos F_X(1)=1-e^{-1} do intervalo anterior, e k=e^{-1}. Então
F_X(x)=1-e^{-1} + e^{-1}\,(x-1).
Podemos deixar esta expressão assim (é clara) ou desenvolvê‑la:
Comentário: é curioso e conveniente que a probabilidade de ultrapassar 1{,}5 seja exatamente metade de e^{-1}.
Passo 5
Agora o experimento com 5 componentes independentes: cada componente tem probabilidade p=\dfrac{e^{-1}}{2} de durar mais que 1{,}5 anos. O número Y de componentes (entre os 5) que duram mais que 1{,}5 anos segue uma distribuição binomial \mathrm{Binomial}(n=5,p). A probabilidade de exatamente 3 sucessos é