Prova 3
A aceleração angular de uma partícula em movimento de rotação ẻ de alpha= 2,5 t rad / s^2. Sabendo que para t=0 s a posição angular é theta=1,2 rad e a velocidade angular é omega=2,2 rad / s, determine a posição angular para t=2,5 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento circular! A gente vai precisar usar conceitos de aceleração angular, velocidade angular e posição angular. Nosso objetivo é encontrar a posição angular theta no instante t = 2,5 segundos, sabendo a aceleração angular que varia com o tempo, e os valores de posição e velocidade angular iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a aceleração angular alpha(t) é dada por alpha = 2,5, t, rad/s²². Para encontrar a velocidade angular omega(t), precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A fórmula básica é:
omega(t) = omega0 + integral0^t alpha(t') , dt'

Passo 3

Vamos calcular a integral da aceleração:
omega(t) = omega0 + integral0^t 2,5, t' , dt'
A integral de 2,5, t' em relação a t' é:
integral 2,5, t' , dt' = 2,5 cdot t'^22 = 1,25, t'^2
Então,
omega(t) = omega0 + 1,25, t^2

Passo 4

Agora, substituímos o valor inicial da velocidade angular omega0 = 2,2, rad/s:
omega(t) = 2,2 + 1,25, t^2

Passo 5

Com a expressão da velocidade angular, agora vamos encontrar a posição angular theta(t) integrando omega(t) em relação ao tempo:
theta(t) = theta0 + integral0^t omega(t') , dt'
Substituindo omega(t'):
theta(t) = 1,2 + integral0^t (2,2 + 1,25, t'^2) dt'

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral (2,2 + 1,25, t'^2) dt' = 2,2, t' + 1,25 cdot t'^33 = 2,2, t + 1,253, t^3
Então,
theta(t) = 1,2 + 2,2, t + 1,253, t^3

Passo 7

Agora, substituímos t = 2,5, s na expressão de theta(t):
theta(2,5) = 1,2 + 2,2 cdot 2,5 + 1,253 cdot (2,5)^3
Calculando passo a passo:
  1. 2,2 cdot 2,5 = 5,5
  2. (2,5)^3 = 15,625
  3. 1,253 cdot 15,625 = 1,25 cdot 15,6253 = 19,531253 approx 6,5104
Somando tudo:
theta(2,5) = 1,2 + 5,5 + 6,5104 approx 13,2104, rad

Resposta

A posição angular para t = 2,5, s é aproximadamente theta = 13,21, rad.

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