Prova 3
Considere uma esfera maciça e homogênea de massa M=3,0 kg e diâmetro D= 50 cm , girando livremente em torno do eixo que passa pelo seu centro de massa, com velocidade angular omega0=6,0 rad / s. Podemos diminuir a velocidade de rotação, encostando a mão na esfera. Calcule a energia térmica dissipada para reduzir a velocidade angular para o valor de omega=2,0 rad / s.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma esfera maciça e homogênea com massa de 3,0,kg e diâmetro de 50 cm (ou seja, raio de 0,25 metros). Ela está girando livremente com uma velocidade angular inicial de omega0 = 6,0,rad/s. Quando você encosta a mão na esfera, a velocidade de rotação diminui para omega = 2,0,rad/s. Queremos descobrir quanta energia térmica foi dissipada nesse processo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética de rotação e momento de inércia de uma esfera. Vamos calcular a energia inicial, a energia final e ver a diferença, que será a energia dissipada como calor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia ( I) da esfera. Para uma esfera maciça e homogênea, a fórmula do momento de inércia é:
I = 25 M R^2
Onde:
  • M é a massa da esfera.
  • R é o raio da esfera.
Vamos substituir os valores:
M = 3,0,kg
D = 50,cm Rightarrow R = D2 = 25,cm = 0,25,m
Então,
I = 25 times 3,0,kg times (0,25,m)^2 = 25 times 3,0 times 0,0625 = 25 times 0,1875 = 0,075,kg cdot m^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética de rotação inicial ( Kinicial) e final ( Kfinal) da esfera. A fórmula para a energia cinética de rotação é:
K = 12 I omega^2
Primeiro, a energia inicial:
omega0 = 6,0,rad/s
Kinicial = 12 times 0,075,kg cdot m^2 times (6,0,rad/s)^2 = 12 times 0,075 times 36 = 0,0375 times 36 = 1,35,J

Passo 4

Agora, a energia cinética final após a redução da velocidade:
omega = 2,0,rad/s
Kfinal = 12 times 0,075,kg cdot m^2 times (2,0,rad/s)^2 = 12 times 0,075 times 4 = 0,0375 times 4 = 0,15,J

Passo 5

A energia térmica dissipada ( De) é a diferença entre a energia inicial e a final:
De

Resposta

A energia térmica dissipada para reduzir a velocidade angular da esfera de 6,0,rad/s para 2,0,rad/s é de 1,20 joules.

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