Em uma prova, caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema.
Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso: a) não tenha acertado nenhum problema? b) tenha acertado apenas o segundo problema?
Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso: a) não tenha acertado nenhum problema? b) tenha acertado apenas o segundo problema?
Passo 1
Beleza, o exercício diz que em uma turma:
- 132 alunos acertaram o primeiro problema.
- 86 erraram o segundo problema.
- 120 acertaram os dois problemas.
- 54 acertaram apenas um problema.
O tema aqui é probabilidade em conjuntos (princípio da inclusão-exclusão). Vamos precisar descobrir quantos alunos têm na turma (total
) e depois calcular:
a) a probabilidade de um aluno não ter acertado nenhum problema;
b) a probabilidade de ter acertado apenas o segundo problema.
a) a probabilidade de um aluno não ter acertado nenhum problema;
b) a probabilidade de ter acertado apenas o segundo problema.
Passo 2
Primeiro, identificamos quantos alunos acertaram apenas o primeiro ou apenas o segundo.
- “Apenas o primeiro” = quem acertou o 1º mas não o 2º =
. - Sabemos que o total que acertou apenas um problema é 54, então “apenas o segundo” =
.
Passo 3
Agora a gente encontra o total de alunos que acertaram o segundo problema:
Eles são quem acertou os dois (120) mais quem acertou só o segundo (42):
Eles são quem acertou os dois (120) mais quem acertou só o segundo (42):
Como 86 erraram o segundo, o total de alunos
é:
Passo 4
Calcular quem não acertou nenhum problema.
Quem acertou pelo menos um é a união dos dois acertos, cuja conta podemos fazer somando os disjuntos:
Quem acertou pelo menos um é a união dos dois acertos, cuja conta podemos fazer somando os disjuntos:
- apenas 1º: 12
- apenas 2º: 42
- ambos: 120
Total da união =.
Logo quem não acertou nenhum é
Probabilidade de não acertar nenhum =
Passo 5
Calcular quem acertou apenas o segundo problema.
Nós já achamos esse número: 42 alunos.
Probabilidade =
Nós já achamos esse número: 42 alunos.
Probabilidade =
Resposta
a)
b)
b)