Em uma prova, caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema.
Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso: a) não tenha acertado nenhum problema? b) tenha acertado apenas o segundo problema?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que em uma turma:
  • 132 alunos acertaram o primeiro problema.
  • 86 erraram o segundo problema.
  • 120 acertaram os dois problemas.
  • 54 acertaram apenas um problema.
O tema aqui é probabilidade em conjuntos (princípio da inclusão-exclusão). Vamos precisar descobrir quantos alunos têm na turma (total ) e depois calcular:
a) a probabilidade de um aluno não ter acertado nenhum problema;
b) a probabilidade de ter acertado apenas o segundo problema.

Passo 2

Primeiro, identificamos quantos alunos acertaram apenas o primeiro ou apenas o segundo.
  • “Apenas o primeiro” = quem acertou o 1º mas não o 2º = .
  • Sabemos que o total que acertou apenas um problema é 54, então “apenas o segundo” = .

Passo 3

Agora a gente encontra o total de alunos que acertaram o segundo problema:
Eles são quem acertou os dois (120) mais quem acertou só o segundo (42):
acertou 2º = 120 + 42 = 162 º
Como 86 erraram o segundo, o total de alunos N = (acertou 2º) + (errou 2º) = 162 + 86 = 248 é:
ºº

Passo 4

Calcular quem não acertou nenhum problema.
Quem acertou pelo menos um é a união dos dois acertos, cuja conta podemos fazer somando os disjuntos:
  • apenas 1º: 12
  • apenas 2º: 42
  • ambos: 120
    Total da união = N - 174 = 248 - 174 = 74 .
    Logo quem não acertou nenhum é
74248 = 37124 approx 0,299
Probabilidade de não acertar nenhum =

Passo 5

Calcular quem acertou apenas o segundo problema.
Nós já achamos esse número: 42 alunos.
Probabilidade =
42248 = 21124 approx 0,169

Resposta

a)
b)

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