Questão 2: ( 0,8 ponto) Classifique em verdadeiro ou falso. Justificar as falsas:
(F) A EDO
é uma EDO não linear;
A EDO
não é exata;
(V) A EDO
é de segunda ordem e de grau 2 ;
(F)
é solução para
(F) A EDO
(V) A EDO
(F)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as quatro afirmações a classificar:
- O enunciado pede: classificar cada uma das quatro afirmações como verdadeira ou falsa e justificar as que forem falsas.
As quatro afirmações são:
- A EDO
é uma EDO não linear. - A EDO
não é exata. - A EDO
é de segunda ordem e de grau 2. -
é solução para .
Passo 2
Conceito importante (aula rápida e prática): quando dizemos que uma EDO é linear (em
) de ordem
, significa que a incógnita
e todas as derivadas até
aparecem só multiplicadas por funções que dependem apenas de
(coeficientes), e nunca aparecem produtos entre
,
,
, nem funções não lineares de
(como
,
,
, etc.). A forma geral de uma EDO linear de segunda ordem é
onde
dependem apenas de
.
Aplicando ao item 1: a equação dada é
Aqui os coeficientes são
,
,
e
. Esses coeficientes dependem apenas de
e cada termo tem
ou alguma derivada multiplicada por função de
. Não há produto entre
e suas derivadas, nem funções não-lineares de
. Portanto a equação é linear (e de segunda ordem). Conclusão: a afirmação que diz que ela é não linear é falsa.
Passo 3
Conceito importante (exatidão): uma equação diferencial de primeira ordem pode ser escrita em forma diferencial
Ela é exata se existe uma função potencial
tal que
e
. Uma verificação prática necessária (e suficiente em domínios simples) é
Agora o item 2: a equação é
Passo prático: multiplicar ambos os lados por
e pelo denominador para obter forma diferencial. Usando
, obtemos
Reescrevendo como forma diferencial:
Aqui
e
.
Calcule as derivadas parciais:
Como
, a condição de exatidão falha; portanto a equação NÃO é exata. Conclusão: a afirmação “não é exata” é verdadeira.
Observação didática rápida: às vezes uma equação não exata pode tornar-se exata multiplicando por um fator integrante apropriado, mas aqui só nos pediram verificar exatidão direta; já está provado que não é exata.
Passo 4
Conceito importante (ordem e grau): a ordem de uma EDO é a ordem da maior derivada presente (por exemplo, se aparece
, a ordem é 2). O grau da EDO é o expoente (grau) do maior derivado depois que a equação estiver escrita como um polinômio em
(sem radicais ou potências fracionárias envolvendo derivadas). Em particular, termos não-lineares em
(como
) não contam para o grau em relação às derivadas — conta-se o expoente da maior derivada.
Aplicando ao item 3: a equação é
- A maior derivada presente é
, logo a ordem é 2 (segunda ordem) — isso é correto. - Agora observar o expoente em que aparece
: ele aparece multiplicado por e aparece com potência (ou seja, não é elevado ao quadrado nem a outra potência). Portanto o grau da equação, quanto às derivadas, é , não .
Conclusão: a afirmação que diz que a equação é de segunda ordem é correta, mas que é de grau
é falsa. Logo a afirmação composta “é de segunda ordem e de grau 2” é falsa (porque o grau é
).
Passo 5
Vamos verificar diretamente se
satisfaz a equação do item 4:
Primeiro calcule
,
e
para
.
Cálculo das derivadas, passo a passo:
Derivando usando a regra do produto
:
Derivando novamente:
Agora substituímos na expressão da equação:
Fatorando
(não é zero para nenhum
, então o que resta dentro do colchete deve ser zero para que a expressão seja zero para todos
):
Simplifique o polinômio dentro dos parênteses:
somando tudo:
Logo a expressão total é
Isso não é identicamente zero para todo
. Só seria zero nos pontos
,
ou
, mas uma solução da EDO tem de satisfazer a igualdade para todo
do domínio considerado. Portanto
NÃO é solução geral da equação dada. Conclusão: a afirmação que afirma que
é solução é falsa.
Resumo das justificativas das falsas
- Item 1: falso — explicação: aparece apenas
, , multiplicados por funções de ; é da forma linear de segunda ordem. - Item 3: falso — explicação: ordem é 2 (correto), mas grau é 1 porque
aparece com expoente 1. - Item 4: falso — explicação: ao substituir
obtemos em geral, logo não satisfaz a equação.
Resposta
Falso
Verdadeiro
Falso
Falso
Verdadeiro
Falso
Falso