Questão 2: ( 0,8 ponto) Classifique em verdadeiro ou falso. Justificar as falsas:
(F) A EDO \operatorname{sen}(x) y^{\prime}+4 y^{\prime \prime}+6 y=0 é uma EDO não linear;
A EDO y^{\prime}=\frac{3 x+6 y}{y+6 x} não é exata;
(V) A EDO x^{2} y^{\prime \prime}+y^{2}=x é de segunda ordem e de grau 2 ;
(F) y=x e^{x} é solução para x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+y=0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as quatro afirmações a classificar:
  • O enunciado pede: classificar cada uma das quatro afirmações como verdadeira ou falsa e justificar as que forem falsas.
As quatro afirmações são:
  1. A EDO \operatorname{sen}(x) y^{\prime}+4 y^{\prime \prime}+6 y=0 é uma EDO não linear.
  2. A EDO y^{\prime}=\dfrac{3 x+6 y}{y+6 x} não é exata.
  3. A EDO x^{2} y^{\prime \prime}+y^{2}=x é de segunda ordem e de grau 2.
  4. y=x e^{x} é solução para x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+y=0.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e prática): quando dizemos que uma EDO é linear (em y) de ordem n, significa que a incógnita y e todas as derivadas até y^{(n)} aparecem só multiplicadas por funções que dependem apenas de x (coeficientes), e nunca aparecem produtos entre y, y', y'', nem funções não lineares de y (como (y')^2, \sin(y), y\cdot y'', etc.). A forma geral de uma EDO linear de segunda ordem é
a_2(x)\,y'' + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde a_2,a_1,a_0,g dependem apenas de x.
Aplicando ao item 1: a equação dada é
\operatorname{sen}(x)\,y' + 4\,y'' + 6\,y = 0.
Aqui os coeficientes são a_2(x)=4, a_1(x)=\operatorname{sen}(x), a_0(x)=6 e g(x)=0. Esses coeficientes dependem apenas de x e cada termo tem y ou alguma derivada multiplicada por função de x. Não há produto entre y e suas derivadas, nem funções não-lineares de y. Portanto a equação é linear (e de segunda ordem). Conclusão: a afirmação que diz que ela é não linear é falsa.

Passo 3

Conceito importante (exatidão): uma equação diferencial de primeira ordem pode ser escrita em forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
Ela é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x = M e \partial\Phi/\partial y = N. Uma verificação prática necessária (e suficiente em domínios simples) é
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Agora o item 2: a equação é
y' = \frac{3x+6y}{y+6x}.
Passo prático: multiplicar ambos os lados por dx e pelo denominador para obter forma diferencial. Usando y' = \dfrac{dy}{dx}, obtemos
(y+6x)\,\frac{dy}{dx} = 3x+6y.
Reescrevendo como forma diferencial:
-(3x+6y)\,dx + (y+6x)\,dy = 0.
Aqui M(x,y) = -(3x+6y) e N(x,y) = y+6x.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = -6,\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 6.
Como -6 \neq 6, a condição de exatidão falha; portanto a equação NÃO é exata. Conclusão: a afirmação “não é exata” é verdadeira.
Observação didática rápida: às vezes uma equação não exata pode tornar-se exata multiplicando por um fator integrante apropriado, mas aqui só nos pediram verificar exatidão direta; já está provado que não é exata.

Passo 4

Conceito importante (ordem e grau): a ordem de uma EDO é a ordem da maior derivada presente (por exemplo, se aparece y'', a ordem é 2). O grau da EDO é o expoente (grau) do maior derivado depois que a equação estiver escrita como um polinômio em y^{(n)} (sem radicais ou potências fracionárias envolvendo derivadas). Em particular, termos não-lineares em y (como y^2) não contam para o grau em relação às derivadas — conta-se o expoente da maior derivada.
Aplicando ao item 3: a equação é
x^{2} y^{\prime \prime} + y^{2} = x.
  • A maior derivada presente é y^{\prime\prime}, logo a ordem é 2 (segunda ordem) — isso é correto.
  • Agora observar o expoente em que aparece y^{\prime\prime}: ele aparece multiplicado por x^2 e aparece com potência 1 (ou seja, y'' não é elevado ao quadrado nem a outra potência). Portanto o grau da equação, quanto às derivadas, é 1, não 2.
Conclusão: a afirmação que diz que a equação é de segunda ordem é correta, mas que é de grau 2 é falsa. Logo a afirmação composta “é de segunda ordem e de grau 2” é falsa (porque o grau é 1).

Passo 5

Vamos verificar diretamente se y=x e^{x} satisfaz a equação do item 4:
x^{2} y^{\prime \prime} - 2 x y^{\prime} + y = 0.
Primeiro calcule y, y' e y'' para y = x e^{x}.
Cálculo das derivadas, passo a passo:
y = x e^{x}.
Derivando usando a regra do produto (u v)' = u'v + uv':
y' = (x)' e^{x} + x (e^{x})' = 1\cdot e^{x} + x\cdot e^{x} = e^{x}(1+x).
Derivando novamente:
y'' = \big(e^{x}(1+x)\big)' = e^{x}(1+x) + e^{x}\cdot 1 = e^{x}(1+x) + e^{x} = e^{x}(2+x).
Agora substituímos na expressão da equação:
x^{2} y'' - 2x y' + y = x^{2}\cdot e^{x}(2+x) - 2x\cdot e^{x}(1+x) + x e^{x}.
Fatorando e^{x} (não é zero para nenhum x, então o que resta dentro do colchete deve ser zero para que a expressão seja zero para todos x):
= e^{x}\big( x^{2}(2+x) - 2x(1+x) + x \big).
Simplifique o polinômio dentro dos parênteses:
x^{2}(2+x) = 2x^{2} + x^{3},
-2x(1+x) = -2x -2x^{2},
somando tudo:
2x^{2} + x^{3} -2x -2x^{2} + x = x^{3} - x.
Logo a expressão total é
e^{x}(x^{3}-x) = e^{x}\,x\,(x^{2}-1).
Isso não é identicamente zero para todo x. Só seria zero nos pontos x=0, x=1 ou x=-1, mas uma solução da EDO tem de satisfazer a igualdade para todo x do domínio considerado. Portanto y=x e^{x} NÃO é solução geral da equação dada. Conclusão: a afirmação que afirma que y=x e^{x} é solução é falsa.

Resumo das justificativas das falsas

  • Item 1: falso — explicação: aparece apenas y, y', y'' multiplicados por funções de x; é da forma linear de segunda ordem.
  • Item 3: falso — explicação: ordem é 2 (correto), mas grau é 1 porque y'' aparece com expoente 1.
  • Item 4: falso — explicação: ao substituir y=x e^{x} obtemos e^{x}x(x^{2}-1)\neq 0 em geral, logo não satisfaz a equação.

Resposta

Falso
Verdadeiro
Falso
Falso

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