Uma prova é constituída de 20 testes com quatro alternativas cada. Um aluno não estudou a matéria e vai respondê-los ao acaso.
Defina a variável aleatória de interesse.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma prova com 20 questões de múltipla-escolha (4 alternativas cada) e o aluno vai chutar todas as respostas.
Conteúdo: variável aleatória discreta e distribuição Binomial.
O que precisamos:
  • Definir a variável aleatória que descreve o número de acertos.
  • Lembrar que, ao chutar, a chance de acerto em cada questão é .
  • Saber que, com número fixo de tentativas independentes e mesma , usamos a distribuição Binomial.

Passo 2

Definindo a variável aleatória:
Vamos chamar de o número de questões que o aluno acerta ao acaso.
Isso quer dizer que pode assumir valores inteiros de 0 até 20.

Passo 3

Por que é binomial?
  1. Temos um número fixo de ensaios (20 questões).
  2. Cada ensaio (questão) tem só duas opções: acerto ou erro.
  3. A probabilidade de acerto em cada questão é sempre .
  4. Os chutes são independentes (o resultado de uma questão não afeta a outra).
    Logo, segue a Distribuição Binomial com parâmetros e .

Resposta

Definimos a variável aleatória
X = número de acertos em 20 questões chutando ao acaso, úõ
e temos
X sim Binomiall(n=20,;p=tfrac14r),
ou seja,
P(X = k) = binom20kl(tfrac14r)^kl(tfrac34r)^20-k, k=0,1,dots,20

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