A fração de um grupo de pacientes de AIDS que sobrevive a um tempo t após o diagnóstico de AIDS é dado por S(t)=\exp (-k t). O tempo que leva para S(t) alcançar o valor de 0,5 é definido como a meia-vida de sobrevivência e denotado por T_{1/2}.
a) Mostre que S(t) pode ser escrito na forma S(t)=2^{-t / T_{1/2}}
b) Mostre que T_{1 / 2}= T_{aver} \ln (2), onde T_{aver} é o tempo médio de sobrevivência definido no problema (1). Assim, é sempre verdade que T_{1 / 2}< T_{aver}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a função de sobrevivência é S(t)=\exp(-k t), com k>0.
  • Definição: a meia-vida de sobrevivência T_{1/2} é o tempo tal que S(T_{1/2})=0,5.
  • O enunciado pede:
    a) mostrar que S(t) pode ser escrita como S(t)=2^{-t / T_{1/2}};
    b) mostrar que T_{1/2}=T_{aver}\,\ln(2), onde T_{aver} é o tempo médio de sobrevivência definido no problema (1); e concluir que T_{1/2}<T_{aver}.

Passo 2

Encontrar uma relação entre k e T_{1/2} a partir da definição de meia-vida.
Pela definição de T_{1/2} temos
S(T_{1/2})=\exp(-k T_{1/2})=0,5.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados (explicação rápida: \ln é a função inversa da exponencial e \ln(a^b)=b\ln a),
-k T_{1/2}=\ln(0,5)=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2.
Portanto
k T_{1/2}=\ln 2 \qquad\Rightarrow\qquad k=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.

Passo 3

Usar a relação k=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}} para reescrever S(t).
Substituindo em S(t)=\exp(-k t) obtemos
S(t)=\exp\!\left(-\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\,t\right).
Agora aplicamos propriedades da exponencial: \exp(a\ln b) = b^a. Assim
S(t)=\exp\!\left(\ln 2\cdot\left(-\frac{t}{T_{1/2}}\right)\right)=2^{-t/T_{1/2}}.
Isso prova a parte (a).

Passo 4

Definir e calcular o tempo médio de sobrevivência T_{aver} para a distribuição exponencial.
Para uma variável de tempo não negativa, o tempo médio (esperança) é
T_{aver}=\mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty} t\,f(t)\,dt,
onde f(t) é a densidade de probabilidade. Para a função de sobrevivência S(t)=\exp(-k t) a densidade é (explicando: f=-S', pois S(t)=P(T>t))
f(t)=-\frac{d}{dt}S(t)=-\frac{d}{dt}\exp(-k t)=k\,\exp(-k t).
Portanto
T_{aver}=\int_{0}^{\infty} t\;k\,\exp(-k t)\,dt.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{\infty} t\,k\,e^{-k t}\,dt (método: integração por partes).
Escolhemos u=t e dv=k e^{-k t}\,dt. Então du=dt e v=\int k e^{-k t}\,dt=-e^{-k t}. Pela fórmula da integração por partes,
\int_{0}^{\infty} t\;k\,e^{-k t}\,dt = \Big[-t e^{-k t}\Big]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-k t}\,dt.
Avaliação dos termos:
  • \displaystyle \lim_{t\to\infty} t e^{-k t}=0 (o exponencial domina o termo linear), e no 0 o produto é 0. Logo o primeiro termo vale 0.
  • A segunda integral é \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-k t}\,dt = \left[-\frac{1}{k}e^{-k t}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{k}.
Assim
T_{aver}=\frac{1}{k}.
Explicando em palavras: para a exponencial o tempo médio é o inverso da taxa k.

Passo 6

Relacionar T_{1/2} com T_{aver}.
Da Passo 2 temos k=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}. Invertendo, T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}. Como T_{aver}=\dfrac{1}{k}, substituindo:
T_{1/2}=\ln 2\cdot T_{aver}.
Como \ln 2\approx 0,693<1, segue imediatamente que
T_{1/2}=0,693\ldots\;T_{aver}<T_{aver}.
Intuição rápida: a distribuição exponencial é assimétrica com cauda à direita, então a mediana (meia-vida) é menor que a média.

Resposta

a) S(t)=2^{-t / T_{1/2}}
b) T_{1/2}=T_{aver}\,\ln(2) e, portanto, T_{1/2}<T_{aver}.

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