A fração de um grupo de pacientes de AIDS que sobrevive a um tempo t após o diagnóstico de AIDS é dado por
. O tempo que leva para
alcançar o valor de 0,5 é definido como a meia-vida de sobrevivência e denotado por
.
a) Mostre que
pode ser escrito na forma
b) Mostre que
, onde
é o tempo médio de sobrevivência definido no problema (1). Assim, é sempre verdade que
.
a) Mostre que
b) Mostre que
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a função de sobrevivência é
, com . - Definição: a meia-vida de sobrevivência
é o tempo tal que . - O enunciado pede:
a) mostrar quepode ser escrita como ;
b) mostrar que, onde é o tempo médio de sobrevivência definido no problema (1); e concluir que .
Passo 2
Encontrar uma relação entre
e
a partir da definição de meia-vida.
Pela definição de
temos
Tomando logaritmo natural em ambos os lados (explicação rápida:
é a função inversa da exponencial e
),
Portanto
Passo 3
Usar a relação
para reescrever
.
Substituindo em
obtemos
Agora aplicamos propriedades da exponencial:
. Assim
Isso prova a parte (a).
Passo 4
Definir e calcular o tempo médio de sobrevivência
para a distribuição exponencial.
Para uma variável de tempo não negativa, o tempo médio (esperança) é
onde
é a densidade de probabilidade. Para a função de sobrevivência
a densidade é (explicando:
, pois
)
Portanto
Passo 5
Calcular a integral
(método: integração por partes).
Escolhemos
e
. Então
e
. Pela fórmula da integração por partes,
Avaliação dos termos:
-
(o exponencial domina o termo linear), e no 0 o produto é . Logo o primeiro termo vale . - A segunda integral é
Assim
Explicando em palavras: para a exponencial o tempo médio é o inverso da taxa
.
Passo 6
Relacionar
com
.
Da Passo 2 temos
. Invertendo,
. Como
, substituindo:
Como
, segue imediatamente que
Intuição rápida: a distribuição exponencial é assimétrica com cauda à direita, então a mediana (meia-vida) é menor que a média.
Resposta
a)
b) e, portanto,
.
b)