2- Suponha que você esteja interessado em reduzir à metade a energia do estado fundamental de um elétron confinado em um poço de potencial infinito unidimensional. Por que fator deve ser multiplicar a largura do poço de potencial?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Uma partícula (um elétron) está confinada num poço de potencial infinito unidimensional com largura inicial L.
  • Quer-se reduzir à metade a energia do estado fundamental dessa partícula.
  • Pergunta: por qual fator deve-se multiplicar a largura do poço L para que a energia do estado fundamental fique pela metade?

Passo 2

Apresentar a fórmula que relaciona a largura do poço com as energias quantizadas. Para o poço infinito unidimensional de largura L (por exemplo definido em 0\le x\le L) as soluções da equação de Schrödinger com as condições de contorno levam a níveis de energia discretos dados por
E_n=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}},
onde:
  • E_n é a energia do nível quântico com número quântico n\in\mathbb{N};
  • \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar=\dfrac{h}{2\pi});
  • m é a massa da partícula (aqui m do elétron);
  • L é a largura do poço.
    Explicando: a quantização aparece porque a função de onda deve ser zero nas paredes do poço (condições de contorno), o que força modos estacionários com comprimentos de onda discretos. A consequência direta é que a energia depende de 1/L^{2}.

Passo 3

Especializando para o estado fundamental: n=1. Assim a energia do estado fundamental é
E_{1}=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}}.
Observação útil: nesta expressão E_{1} é proporcional a 1/L^{2}. Ou seja, se a largura L for multiplicada por um fator k, a energia E_{1} será dividida por k^{2}:
L\mapsto L' = kL \quad\Longrightarrow\quad E_{1}'=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2m(L')^{2}}=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2m(kL)^{2}}=\frac{1}{k^{2}}\,E_{1}.

Passo 4

Impor a condição pedida: a nova energia do fundamental deve ser metade da original, isto é
E_{1}'=\frac{1}{2}E_{1}.
Usando a relação da etapa anterior E_{1}'=\dfrac{1}{k^{2}}E_{1}, tem-se
\frac{1}{k^{2}}E_{1}=\frac{1}{2}E_{1}.
Como E_{1}\neq0, podemos cancelar E_{1} dos dois lados e obter
\frac{1}{k^{2}}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Resolver para k:
k^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad k=\sqrt{2}.
Portanto a largura do poço deve ser multiplicada por k=\sqrt{2} para que a energia do estado fundamental seja reduzida à metade. Numericamente,
k=\sqrt{2}\approx 1{,}4142.

Passo 6

Interpretação física curta e motivação para a prova: aumentar a largura do poço aumenta o “espaço” disponível para a função de onda, reduzindo sua curvatura e, portanto, a energia cinética mínima. Como a dependência é em 1/L^{2}, reduzir energia pela metade exige aumentar L por \sqrt{2}. Esse tipo de raciocínio (proporcionalidade e resolução algébrica simples) é bem comum em questões rápidas de prova — memorize a relação E\propto1/L^{2} e você resolve esse tipo de pergunta em segundos.

Resposta

\sqrt{2}\approx1{,}4142

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