2- Suponha que você esteja interessado em reduzir à metade a energia do estado fundamental de um elétron confinado em um poço de potencial infinito unidimensional. Por que fator deve ser multiplicar a largura do poço de potencial?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Uma partícula (um elétron) está confinada num poço de potencial infinito unidimensional com largura inicial
. - Quer-se reduzir à metade a energia do estado fundamental dessa partícula.
- Pergunta: por qual fator deve-se multiplicar a largura do poço
para que a energia do estado fundamental fique pela metade?
Passo 2
Apresentar a fórmula que relaciona a largura do poço com as energias quantizadas. Para o poço infinito unidimensional de largura
(por exemplo definido em
) as soluções da equação de Schrödinger com as condições de contorno levam a níveis de energia discretos dados por
onde:
-
é a energia do nível quântico com número quântico ; -
é a constante de Planck reduzida ( ); -
é a massa da partícula (aqui do elétron); -
é a largura do poço.
Explicando: a quantização aparece porque a função de onda deve ser zero nas paredes do poço (condições de contorno), o que força modos estacionários com comprimentos de onda discretos. A consequência direta é que a energia depende de.
Passo 3
Especializando para o estado fundamental:
. Assim a energia do estado fundamental é
Observação útil: nesta expressão
é proporcional a
. Ou seja, se a largura
for multiplicada por um fator
, a energia
será dividida por
:
Passo 4
Impor a condição pedida: a nova energia do fundamental deve ser metade da original, isto é
Usando a relação da etapa anterior
, tem-se
Como
, podemos cancelar
dos dois lados e obter
Passo 5
Resolver para
:
Portanto a largura do poço deve ser multiplicada por
para que a energia do estado fundamental seja reduzida à metade. Numericamente,
Passo 6
Interpretação física curta e motivação para a prova: aumentar a largura do poço aumenta o “espaço” disponível para a função de onda, reduzindo sua curvatura e, portanto, a energia cinética mínima. Como a dependência é em
, reduzir energia pela metade exige aumentar
por
. Esse tipo de raciocínio (proporcionalidade e resolução algébrica simples) é bem comum em questões rápidas de prova — memorize a relação
e você resolve esse tipo de pergunta em segundos.