Em um levantamento realizado, em maio de 1983 nos 200 funcionários da empresa X K, em relação a variável expressa em unidades monetárias (u.m.), obteve-se a seguinte tabela:
Salário (\mathrm{u} . \mathrm{m}) \mathrm{N}^* de Funcionários
01-2 26
21-4 32
41-6 34
61-8 40
81-10 28
101-12 22
121-14 18
\Sigma 200
Considerando os 200 funcionários como de uma populaçāo, determine:
O valor da moda e da média dos salários.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a moda dos salários.
  • Determinar a média dos salários.
Informações fornecidas (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Classes de salário (unidades monetárias): 0\!-\!2,\;2\!-\!4,\;4\!-\!6,\;6\!-\!8,\;8\!-\!10,\;10\!-\!12,\;12\!-\!14.
  • Frequências absolutas correspondentes (número de funcionários): 26,\;32,\;34,\;40,\;28,\;22,\;18.
  • Total \Sigma = 200 funcionários (considerados como uma população).
Observação clara: vou usar os dados da tabela tal como estão (classes de largura constante h=2 u.m.). A tabela completa de frequências usada nos cálculos será montada nos próximos passos.

Passo 2

Explicando a média para dados agrupados (aulas rápidas, sem pânico):
  • Quando temos dados agrupados em classes, a média populacional \bar{x} é calculada aproximando cada classe pelo seu ponto médio x_i e usando a fórmula
\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i} f_i x_i,
onde:
  • N é o total da população (aqui N=200),
  • f_i é a frequência da i-ésima classe (número de funcionários na classe),
  • x_i é o ponto médio da i-ésima classe (a média aritmética entre os limites inferior e superior da classe).
  • O ponto médio de uma classe [a,b) é x_i = \dfrac{a+b}{2}. Esse é um artifício prático: assumimos que todos dentro da classe têm o salário igual ao ponto médio (é uma aproximação padrão).
Vou calcular os pontos médios e os produtos f_i x_i.

Passo 3

Calcular pontos médios x_i e f_i x_i (peguei as frequências da tabela):
  • Classe 0\!-\!2: x_1=\dfrac{0+2}{2}=1. f_1=26. f_1 x_1 = 26\cdot1 = 26.
  • Classe 2\!-\!4: x_2=\dfrac{2+4}{2}=3. f_2=32. f_2 x_2 = 32\cdot3 = 96.
  • Classe 4\!-\!6: x_3=\dfrac{4+6}{2}=5. f_3=34. f_3 x_3 = 34\cdot5 = 170.
  • Classe 6\!-\!8: x_4=\dfrac{6+8}{2}=7. f_4=40. f_4 x_4 = 40\cdot7 = 280.
  • Classe 8\!-\!10: x_5=\dfrac{8+10}{2}=9. f_5=28. f_5 x_5 = 28\cdot9 = 252.
  • Classe 10\!-\!12: x_6=\dfrac{10+12}{2}=11. f_6=22. f_6 x_6 = 22\cdot11 = 242.
  • Classe 12\!-\!14: x_7=\dfrac{12+14}{2}=13. f_7=18. f_7 x_7 = 18\cdot13 = 234.
Somando todos os f_i x_i:
\sum_{i} f_i x_i = 26 + 96 + 170 + 280 + 252 + 242 + 234 = 1300.

Passo 4

Calcular a média usando a fórmula explicada:
\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i} f_i x_i = \frac{1300}{200}.
Fazendo a divisão:
\bar{x} = 6,5\\ \text{u.m.}
Interpretação curta: a média aproximada dos salários, tomando os pontos médios das classes, é 6,5 u.m.

Passo 5

Explicando a moda para dados agrupados:
  • A moda é o valor (ou classe) com maior frequência. Para dados agrupados, a moda é normalmente obtida pela classe modal (aquela com maior f_i), e podemos refinar a estimativa do valor modal dentro dessa classe usando a fórmula da moda linear por interpolação:
\text{Moda} \approx L + \frac{f_m - f_{m-1}}{2f_m - f_{m-1} - f_{m+1}} \cdot h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe modal,
  • f_m é a frequência da classe modal,
  • f_{m-1} é a frequência da classe anterior,
  • f_{m+1} é a frequência da classe seguinte,
  • h é a amplitude (largura) da classe (aqui h=2 u.m.).
  • Essa fórmula faz uma interpolação linear considerando as alturas das barras das frequências vizinhas; é a forma usual em estatística para estimar a moda em revisão de dados agrupados.

Passo 6

Encontrar a classe modal e aplicar a fórmula (peguei as frequências da tabela):
  • Observando as frequências: 26,\,32,\,34,\,\mathbf{40},\,28,\,22,\,18. A maior é 40, portanto a classe modal é 6\!-\!8.
  • Para essa classe: L=6, f_m=40, f_{m-1}=34, f_{m+1}=28, h=2.
    Aplicando a fórmula:
\text{Moda} \approx 6 + \frac{40-34}{2\cdot40 - 34 - 28}\cdot 2.
Calcular passo a passo:
40-34 = 6,
2\cdot40 - 34 - 28 = 80 - 62 = 18,
\frac{6}{18} = \frac{1}{3},
\text{Moda} \approx 6 + \frac{1}{3}\cdot 2 = 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3} = 6,666\ldots
Usando vírgula decimal conforme pedido:
\text{Moda} \approx 6,66\overline{6}\\ \text{u.m.}
(Arredondando com duas casas, seria 6,67 u.m.)

Resposta

Moda: 6,\overline{6} u.m. (aproximadamente 6,67 u.m.)
Média: 6,5 u.m.

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