1.a Prova - Métodos Matemáticos I - F 520 - 1.0 sem 2025
Marcus V. S. Bonança
. Considere a superfície no espaço tridimensional descrita pela função
, onde
. (a) Encontre o versor no plano
que fornece a direção de maior variação de
. (b) Tomando um caminho semi-circular no plano
, com
e raio
, calcule a variação infinitesimal de
para deslocamentos infinitesimais sempre tangentes ao caminho mencionado nos pontos
e
e
.
Marcus V. S. Bonança
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com uma superfície no espaço tridimensional descrita pela função $ f(x, y) = a - y $, onde $ a > 0 $. A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente trabalhando com gradientes e variações de funções em diferentes direções. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como encontrar a direção de maior variação de uma função e como calcular variações infinitesimais ao longo de um caminho específico.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a) da questão: Encontrar o versor no plano $ xy $ que fornece a direção de maior variação de $ f $.
Para encontrar a direção de maior variação de uma função, usamos o gradiente da função. O gradiente de $ f $, denotado por $ \nabla f $, aponta na direção de maior aumento da função.
Vamos calcular o gradiente de $ f(x, y) = a - y $:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Esse vetor $ (0, -1) $ indica que a direção de maior variação de $ f $ está na direção negativa do eixo $ y $.
Passo 3
Agora, precisamos transformar esse vetor gradiente em um versor, que é um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1.
Para isso, calculamos o módulo do gradiente:
Então, o versor na direção de $ \nabla f $ é:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b) da questão: Calcular a variação infinitesimal de $ f $ para deslocamentos infinitesimais sempre tangentes a um caminho semicircular no plano $ xy $ com $ y > 0 $ e raio $ R $, nos pontos $ (R, 0) $, $ \left( \frac{R\sqrt{2}}{2}, \frac{R\sqrt{2}}{2} \right) $ e $ (0, R) $.
Primeiro, vamos entender o que significa variação infinitesimal. A variação infinitesimal de $ f $, denotada por $ df $, para um deslocamento infinitesimal $ d\mathbf{r} = (dx, dy) $, é dada por:
Já sabemos que $ \nabla f = (0, -1) $, então:
Agora, precisamos expressar $ dy $ em termos do deslocamento tangente ao caminho semicircular.
Para um caminho semicircular de raio $ R $, podemos parametrizar as coordenadas como:
O deslocamento infinitesimal ao longo do caminho é dado pela derivada em relação a $ \theta $:
Portanto,
Substituindo na expressão de $ df $:
Agora, vamos calcular isso nos pontos específicos:
-
No ponto $ (R, 0) $:
- Aqui, $ \theta = 0 $, então:
-
No ponto $ \left( \frac{R\sqrt{2}}{2}, \frac{R\sqrt{2}}{2} \right) $:
- Aqui, $ \theta = \frac{\pi}{4} $, então:
-
No ponto $ (0, R) $:
- Aqui, $ \theta = \frac{\pi}{2} $, então:
Resposta
(a) O versor no plano $ xy $ que dá a direção de maior variação de $ f $ é $ \mathbf{u} = (0, -1) $.
(b) As variações infinitesimais de $ f $ nos pontos dados são:
- Em $ (R, 0) $: $ df = -R , d\theta $
- Em $ \left( \frac{R\sqrt{2}}{2}, \frac{R\sqrt{2}}{2} \right) $: $ df = -\frac{R\sqrt{2}}{2} , d\theta $
- Em $ (0, R) $: $ df = 0 $