Três tipos de revestimento são testados quanto à perda de massa por corrosão após 100 horas de exposição salina:
Revestimento Perda de Massa (mg)
1 5,2 5,3 5,1
2 6,4 6,3 6,2
3 5,9 6,0 5,8
Verificar se há diferença significativa nas médias das perdas, ao nível de 5 \%.

Passo 1

O enunciado nos dá as perdas de massa (em mg) para três tipos de revestimento, com três réplicas cada. Os dados são (peguei todos os números da tabela do enunciado):
  • Revestimento 1: 5,2,\;5,3,\;5,1.
  • Revestimento 2: 6,4,\;6,3,\;6,2.
  • Revestimento 3: 5,9,\;6,0,\;5,8.
O que é pedido: verificar se há diferença significativa entre as médias das perdas dos três revestimentos ao nível de significância de 5\% (ou seja, \alpha=0{,}05).

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática): quando há mais de duas amostras independentes e queremos comparar médias usamos tipicamente a ANOVA unidirecional (one-way ANOVA). A ideia é separar a variação total dos dados em duas partes:
  • variação “entre” grupos (devida a diferenças entre as médias dos revestimentos);
  • variação “dentro” dos grupos (devida à variabilidade das réplicas dentro de cada revestimento).
Se a variação entre grupos for muito maior do que a variação dentro dos grupos, isso sugere que as médias são diferentes. O teste formal usa a estatística F, definida como razão entre as médias quadráticas:
F=\frac{\text{MS}_{\text{entre}}}{\text{MS}_{\text{dentro}}},
onde \text{MS}_{\text{entre}}=\dfrac{\text{SS}_{\text{entre}}}{k-1} e \text{MS}_{\text{dentro}}=\dfrac{\text{SS}_{\text{dentro}}}{N-k}. Aqui k é o número de grupos e N o número total de observações. Rejeita-se H_0 (todas as médias iguais) se F for maior que o valor crítico F_{\alpha;k-1,N-k} ou se o p-valor for menor que \alpha.

Passo 3

Cálculo das médias de cada grupo e da média geral (mostrar contas):
  • Soma e média do grupo 1:
\text{Soma}_1=5,2+5,3+5,1=15,6,\qquad \bar{x}_1=\dfrac{15,6}{3}=5,2.
  • Soma e média do grupo 2:
\text{Soma}_2=6,4+6,3+6,2=19,0,\qquad \bar{x}_2=\dfrac{19,0}{3}=\dfrac{19}{3}\approx6,333\ldots
  • Soma e média do grupo 3:
\text{Soma}_3=5,9+6,0+5,8=17,7,\qquad \bar{x}_3=\dfrac{17,7}{3}=5,9.
Total e média geral:
\text{Soma}_{\text{total}}=15,6+19,0+17,7=52,3,\qquad \bar{x}=\dfrac{52,3}{9}\approx5,811\overline{1}.

Passo 4

Cálculo da soma de quadrados entre os grupos ( \text{SS}_{\text{entre}}) — explicando a fórmula e aplicando:
Fórmula:
\text{SS}_{\text{entre}}=\sum_{i=1}^{k} n_i\big(\bar{x}_i-\bar{x}\big)^2,
onde n_i é o tamanho do grupo i (aqui n_i=3 para todos).
Cálculo de cada termo (mostrando os passos):
  • Para o grupo 1:
\bar{x}_1-\bar{x}=5,2-5,811\ldots=-0,611\ldots,\qquad ( \bar{x}_1-\bar{x})^2\approx0,37345679,
n_1(\bar{x}_1-\bar{x})^2=3\cdot0,37345679\approx1,12037037.
  • Para o grupo 2:
\bar{x}_2-\bar{x}=6,333\ldots-5,811\ldots=0,522\ldots,\qquad ( \bar{x}_2-\bar{x})^2\approx0,272715,
n_2(\bar{x}_2-\bar{x})^2=3\cdot0,272715\approx0,818145.
  • Para o grupo 3:
\bar{x}_3-\bar{x}=5,9-5,811\ldots=0,0888\ldots,\qquad ( \bar{x}_3-\bar{x})^2\approx0,007901,
n_3(\bar{x}_3-\bar{x})^2=3\cdot0,007901\approx0,0237037.
Somando:
\text{SS}_{\text{entre}}\approx1,12037037+0,818145+0,0237037\approx1,96221907\approx1,96222.

Passo 5

Cálculo da soma de quadrados dentro dos grupos ( \text{SS}_{\text{dentro}} ou SSE) — explicando a fórmula e aplicando:
Fórmula:
\text{SS}_{\text{dentro}}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\bar{x}_i)^2.
Calcular por grupo (mostrando contas simples):
  • Grupo 1 ( \bar{x}_1=5,2): diferenças 0,0,\;0,1,\;-0,1 ⇒ quadrados 0,\;0,01,\;0,01. Soma = 0,02.
  • Grupo 2 ( \bar{x}_2=\dfrac{19}{3}\approx6,333\ldots): diferenças 6,4-6,333\ldots=0,0666\ldots, 6,3-6,333\ldots=-0,0333\ldots, 6,2-6,333\ldots=-0,1333\ldots.
    Quadrados aproximados: 0,00444444,\;0,00111111,\;0,01777778. Soma ≈ 0,02333333.
  • Grupo 3 ( \bar{x}_3=5,9): diferenças 0,0,\;0,1,\;-0,1 ⇒ quadrados 0,\;0,01,\;0,01. Soma = 0,02.
Somando todas as partes:
\text{SS}_{\text{dentro}}\approx0,02+0,02333333+0,02=0,06333333\approx0,06333.

Passo 6

Cálculo das médias quadráticas, da estatística F e decisão do teste:
  • Graus de liberdade: k=3, N=9.
\text{df}_{\text{entre}}=k-1=2,\qquad \text{df}_{\text{dentro}}=N-k=6.
  • Médias quadráticas:
\text{MS}_{\text{entre}}=\dfrac{\text{SS}_{\text{entre}}}{2}\approx\dfrac{1,96222}{2}\approx0,98111,
\text{MS}_{\text{dentro}}=\dfrac{\text{SS}_{\text{dentro}}}{6}\approx\dfrac{0,06333}{6}\approx0,0105556.
  • Estatística F:
F=\dfrac{\text{MS}_{\text{entre}}}{\text{MS}_{\text{dentro}}}\approx\dfrac{0,98111}{0,0105556}\approx92,97.
Valor crítico: para \alpha=0{,}05, \text{df}_1=2, \text{df}_2=6, tem-se aproximadamente
F_{0{,}05;2,6}\approx5,14.
Comparação: F\approx92,97 é muito maior que 5,14. Portanto rejeitamos H_0 ao nível de 5\%. (Alternativamente, o p-valor é extremamente pequeno, muito menor que 0{,}05.)

Passo 7

Interpretação final e observação prática (como usar na prova): rejeitar H_0 significa concluir que nem todas as médias são iguais — há diferença significativa entre as médias das perdas de massa dos revestimentos. Observando as médias calculadas:
\bar{x}_1=5,2,\qquad \bar{x}_2\approx6,333\ldots,\qquad \bar{x}_3=5,9,
parece que o Revestimento 2 tem média de perda maior que os outros; para identificar quais pares são diferentes com segurança (por exemplo, se apenas 2 difere ou várias diferenças) faria-se um teste post-hoc (por exemplo, o teste de Tukey HSD). Mas para a pergunta do enunciado (se existe diferença global) a ANOVA já responde: sim, existe diferença significativa.
Força extra de apoio: sei que tudo isso parece muita conta quando se está apertado de tempo — foque na receita na prova: calcular médias, calcular SS entre e SS dentro (com cuidado nas subtrações), formar F e comparar com tabela. Você consegue!

Resposta

Rejeita‑se H_0. Há diferença significativa entre as médias das perdas ( F\approx92,97 > F_{0,05;2,6}\approx5,14 ).

Exercícios relacionados