O diâmetro de cilindros de aço manufaturados em duas máquinas diferentes está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos n_{1}=15 e n_{2}=17 são selecionadas. Médias e variâncias amostrais são x=8,73, s^{2}=0,34, x=8,68, s^{2}=0,39.
Construa um intervalo de confiança inferior de 90 %.

Passo 1

O enunciado dá duas amostras independentes de diâmetros (uma de cada máquina) e pede um intervalo de confiança inferior (one-sided) de 90%. Vou listar os dados que foram fornecidos:
  • Tamanho da amostra 1: n_{1}=15.
  • Média amostral 1: \bar{x}_{1}=8,73.
  • Variância amostral 1: s_{1}^{2}=0,34.
  • Tamanho da amostra 2: n_{2}=17.
  • Média amostral 2: \bar{x}_{2}=8,68.
  • Variância amostral 2: s_{2}^{2}=0,39.
O que se pede explicitamente: construir um intervalo de confiança unilateral inferior de nível 90\% para a diferença de médias das populações, isto é para \mu_{1}-\mu_{2}. Em linguagem prática: encontrar um número L tal que, com 90\% de confiança, \mu_{1}-\mu_{2}\ge L.

Passo 2

Escolha do método e hipóteses usadas (explicando de forma simples):
  • As amostras são independentes e as populações subjacentes (diâmetros) assumimos aproximadamente normais — hipótese típica para amostras pequenas.
  • As variâncias populacionais são desconhecidas. As variâncias amostrais 0,34 e 0,39 são próximas, então vamos usar o procedimento clássico de duas amostras assumindo variâncias iguais (método do pool). Esse método é mais simples e costuma ser o pedido em exercícios básicos; se as variâncias fossem muito diferentes usaríamos o método de Welch (mais geral).
  • Para o caso de variâncias iguais usamos a distribuição t com graus de liberdade n_{1}+n_{2}-2.

Passo 3

Fórmula do estimador da variância conjunta (pooled) e interpretação das variáveis:
s_{p}^{2}=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2},
onde s_{p}^{2} é a variância amostral combinada (pooled), s_{1}^{2} e s_{2}^{2} são as variâncias amostrais, e n_{1},n_{2} os tamanhos das amostras.
Agora calculamos passo a passo:
(n_{1}-1)s_{1}^{2}=14\cdot0,34=4,76,
(n_{2}-1)s_{2}^{2}=16\cdot0,39=6,24,
\text{soma}=4,76+6,24=11,00,
n_{1}+n_{2}-2=15+17-2=30,
s_{p}^{2}=\frac{11,00}{30}=0,366666\ldots \approx 0,3667.

Passo 4

Obter o desvio-padrão pooled e o erro padrão da diferença de médias. Fórmulas e o que cada símbolo significa:
s_{p}=\sqrt{s_{p}^{2}},
\text{erro padrão (SE)}=s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}.ã
Aqui s_{p} é o desvio-padrão combinado e o SE é a estimativa do desvio-padrão da diferença amostral \bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}.
Cálculos numéricos:
s_{p}=\sqrt{0,366666\ldots}=0,60553\ldots \approx 0,6055,
\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}=\frac{1}{15}+\frac{1}{17}=0,066666\ldots+0,0588235\ldots=0,1254902\ldots,
\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}=\sqrt{0,1254902\ldots}=0,35426\ldots,
\text{SE}=0,60553\cdot0,35426\ldots=0,21444\ldots \approx 0,2144.

Passo 5

Escolher o quantil t apropriado para um intervalo unilateral inferior de nível 90\%. Explicação:
  • Para um intervalo unilateral com nível 1-\alpha=0,90 temos \alpha=0,10.
  • O limite inferior usa o quantil t_{1-\alpha,\nu}, ou seja t_{0,90,\nu}, onde \nu é o número de graus de liberdade.
  • Aqui \nu=n_{1}+n_{2}-2=30. Pelo quadro da t-Student, para \nu=30 temos aproximadamente t_{0,90,30}=1,310 (valor crítico tal que P(T\le t_{0,90})=0,90 para T\sim t_{30}).

Passo 6

Fórmula do limite inferior e cálculo numérico. A fórmula do limite inferior L para \mu_{1}-\mu_{2} é
L=(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})-t_{0,90,\nu}\cdot\text{SE}.
Aqui \bar{x}_{1}-\bar{x}_{2} é a diferença das médias amostrais, t_{0,90,\nu} é o quantil definido no Passo 5 e SE é o erro padrão do Passo 4.
Calculemos a diferença amostral:
\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=8,73-8,68=0,05.
Agora aplicando a fórmula:
L=0,05-1,310\cdot0,21444\ldots
1,310\cdot0,21444\ldots=0,2807\ldots \approx 0,2807,
L=0,05-0,2807=-0,2307\ldots \approx -0,2307.
Arredondando de forma razoável (três casas decimais) obtemos L\approx -0,231.
Interpretação rápida: o intervalo de confiança unilateral inferior de 90\% para \mu_{1}-\mu_{2} é [L,\infty) com L\approx -0,231. Como 0 está dentro desse intervalo (pois 0>-0,231), não há evidência forte de que a média da máquina 1 seja maior que a da máquina 2 ao nível de 90\%.

Resposta

\displaystyle [\,-0,231,\\ \infty\,)

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