O diâmetro de cilindros de aço manufaturados em duas máquinas diferentes está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos
e
são selecionadas. Médias e variâncias amostrais são
,
.
Construa um intervalo de confiança inferior de
.
Construa um intervalo de confiança inferior de
Passo 1
O enunciado dá duas amostras independentes de diâmetros (uma de cada máquina) e pede um intervalo de confiança inferior (one-sided) de 90%. Vou listar os dados que foram fornecidos:
- Tamanho da amostra 1:
. - Média amostral 1:
. - Variância amostral 1:
. - Tamanho da amostra 2:
. - Média amostral 2:
. - Variância amostral 2:
.
O que se pede explicitamente: construir um intervalo de confiança unilateral inferior de nível
para a diferença de médias das populações, isto é para
. Em linguagem prática: encontrar um número
tal que, com
de confiança,
.
Passo 2
Escolha do método e hipóteses usadas (explicando de forma simples):
- As amostras são independentes e as populações subjacentes (diâmetros) assumimos aproximadamente normais — hipótese típica para amostras pequenas.
- As variâncias populacionais são desconhecidas. As variâncias amostrais
e são próximas, então vamos usar o procedimento clássico de duas amostras assumindo variâncias iguais (método do pool). Esse método é mais simples e costuma ser o pedido em exercícios básicos; se as variâncias fossem muito diferentes usaríamos o método de Welch (mais geral). - Para o caso de variâncias iguais usamos a distribuição
com graus de liberdade .
Passo 3
Fórmula do estimador da variância conjunta (pooled) e interpretação das variáveis:
onde
é a variância amostral combinada (pooled),
e
são as variâncias amostrais, e
os tamanhos das amostras.
Agora calculamos passo a passo:
Passo 4
Obter o desvio-padrão pooled e o erro padrão da diferença de médias. Fórmulas e o que cada símbolo significa:
Aqui
é o desvio-padrão combinado e o SE é a estimativa do desvio-padrão da diferença amostral
.
Cálculos numéricos:
Passo 5
Escolher o quantil
apropriado para um intervalo unilateral inferior de nível
. Explicação:
- Para um intervalo unilateral com nível
temos . - O limite inferior usa o quantil
, ou seja , onde é o número de graus de liberdade. - Aqui
. Pelo quadro da -Student, para temos aproximadamente (valor crítico tal que para ).
Passo 6
Fórmula do limite inferior e cálculo numérico. A fórmula do limite inferior
para
é
Aqui
é a diferença das médias amostrais,
é o quantil definido no Passo 5 e SE é o erro padrão do Passo 4.
Calculemos a diferença amostral:
Agora aplicando a fórmula:
Arredondando de forma razoável (três casas decimais) obtemos
.
Interpretação rápida: o intervalo de confiança unilateral inferior de
para
é
com
. Como
está dentro desse intervalo (pois
), não há evidência forte de que a média da máquina 1 seja maior que a da máquina 2 ao nível de
.