Provar que
é um espaço vetorial.
Passo 1
O exercício pede para provar que o conjunto
, equipado com a soma de vetores e o produto por escalar usuais, é um espaço vetorial sobre o corpo
. Para isso, precisamos verificar os axiomas: primeiro que
é um grupo abeliano e depois que o produto escalar satisfaz fechamento, distributividades, compatibilidade e existência de elemento neutro escalar.
Passo 2
Definimos, para quaisquer
,
em
e
, as operações usuais de
:
Passo 3
Verificamos que
é um grupo abeliano:
• Fechamento: se
, então
tem coordenadas
e
, que estão em
, logo
.
• Associatividade:
pela associatividade da soma em
.
• Comutatividade:
.
• Elemento neutro: existe
tal que
.
• Inverso aditivo: para
, o inverso é
, pois
.
Passo 4
Agora verificamos as propriedades do produto escalar:
• Fechamento: se
e
, então
.
• Distributividade de escalar sobre soma de vetores:
$$a\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=a\cdot(x_1+x_2,,y_1+y_2)=(a(x_1+x_2),,a(y_1+y_2))=(ax_1+ax_2,,ay_1+ay_2)=a\cdot\mathbf{u}+a\cdot\mathbf{v}.
$$
• Distributividade de soma de escalares sobre vetor:
$$(a+b)\cdot\mathbf{u}=((a+b)x_1,,(a+b)y_1)=(ax_1+bx_1,,ay_1+by_1)=a\cdot\mathbf{u}+b\cdot\mathbf{u}.
$$
• Compatibilidade (associatividade) de escalares:
$$(ab)\cdot\mathbf{u}=(abx_1,;aby_1)=a\cdot(bx_1,;by_1)=a\cdot(b\cdot\mathbf{u}).
$$
• Neutro escalar:
Resposta
Portanto, todas as propriedades exigidas pelos axiomas de espaço vetorial são verificadas, e assim
com as operações de soma e multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial sobre
.