Provar que é um espaço vetorial.

Passo 1

O exercício pede para provar que o conjunto R^2, equipado com a soma de vetores e o produto por escalar usuais, é um espaço vetorial sobre o corpo R. Para isso, precisamos verificar os axiomas: primeiro que (R^2,+) é um grupo abeliano e depois que o produto escalar satisfaz fechamento, distributividades, compatibilidade e existência de elemento neutro escalar.

Passo 2

Definimos, para quaisquer u=(x1,y1), v=(x2,y2) em R^2 e ainR, as operações usuais de R^2:
u+v=(x1+x2,;y1+y2),
acdotu=(a x1,;a y1)

Passo 3

Verificamos que (R^2,+) é um grupo abeliano:
• Fechamento: se u,vinR^2, então u+v tem coordenadas x1+x2 e y1+y2, que estão em R, logo u+vinR^2.
• Associatividade: (u+v)+w=(x1+x2+x3,,y1+y2+y3)=u+(v+w) pela associatividade da soma em R.
• Comutatividade: u+v=(x1+x2,y1+y2)=(x2+x1,y2+y1)=v+u.
• Elemento neutro: existe 0=(0,0) tal que u+0=(x1,y1)=u.
• Inverso aditivo: para u=(x1,y1), o inverso é -u=(-x1,-y1), pois u+(-u)=(0,0)=0.

Passo 4

Agora verificamos as propriedades do produto escalar:
• Fechamento: se ainR e uinR^2, então acdotu=(a x1,a y1)inR^2.
• Distributividade de escalar sobre soma de vetores:
$$a\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=a\cdot(x_1+x_2,,y_1+y_2)=(a(x_1+x_2),,a(y_1+y_2))=(ax_1+ax_2,,ay_1+ay_2)=a\cdot\mathbf{u}+a\cdot\mathbf{v}.
$$
• Distributividade de soma de escalares sobre vetor:
$$(a+b)\cdot\mathbf{u}=((a+b)x_1,,(a+b)y_1)=(ax_1+bx_1,,ay_1+by_1)=a\cdot\mathbf{u}+b\cdot\mathbf{u}.
$$
• Compatibilidade (associatividade) de escalares:
$$(ab)\cdot\mathbf{u}=(abx_1,;aby_1)=a\cdot(bx_1,;by_1)=a\cdot(b\cdot\mathbf{u}).
$$
• Neutro escalar: acdot(u+v)=acdot(x1+x2,,y1+y2)=(a(x1+x2),,a(y1+y2))=(ax1+ax2,,ay1+ay2)=acdotu+acdotv

Resposta

Portanto, todas as propriedades exigidas pelos axiomas de espaço vetorial são verificadas, e assim R^2 com as operações de soma e multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial sobre R.

Exercícios relacionados