Provar que é um espaço vetorial.

Passo 1

Neste exercício vamos provar que (R^3,+,cdot) é um espaço vetorial sobre R. Para isso, precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial (fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro e inverso para a adição, além dos axiomas envolvendo multiplicação por escalar).

Passo 2

Em R^3 definimos a soma de vetores e a multiplicação por escalar componente a componente. Assim:
(x1,x2,x3)+(y1,y2,y3)=(x1+y1,;x2+y2,;x3+y3)
alphacdot(x1,x2,x3)=(alpha x1,;alpha x2,;alpha x3)

Passo 3

Com essas definições fica claro que a soma e a multiplicação por escalar resultam sempre em um vetor de R^3, garantindo o fechamento.

Passo 4

Mostramos agora os axiomas da adição de vetores em R^3:
– Comutatividade: Para quaisquer u,vinR^3, as somas componentes se comutam, logo u+v=v+u.
– Associatividade: Como a soma de números reais é associativa, obtemos (u+v)+w=u+(v+w) para todo winR^3.
– Elemento neutro: O vetor (0,0,0) satisfaz v+(0,0,0)=(v1+0,v2+0,v3+0)=v para todo v.
– Inverso aditivo: Para todo v=(v1,v2,v3) existe -v=(-v1,-v2,-v3) tal que v+(-v)=(0,0,0).

Passo 5

Verificamos agora os axiomas envolvendo a multiplicação por escalar:
– Distributividade em relação à soma de escalares: (alpha+beta)cdot v=alpha v+beta v segue das propriedades distributivas em R.
– Distributividade em relação à soma de vetores: alphacdot(u+v)=alpha u+alpha v também decorre da distributividade real em cada componente.
– Compatibilidade com produto de escalares: (alphabeta)cdot v=alphacdot(beta v) por associatividade do produto real.
– Elemento neutro escalar: 1cdot v=v segue de (1cdot vi)=vi em cada componente.

Passo 6

Com isso, todos os axiomas de espaço vetorial sobre R ficam satisfeitos para R^3.

Resposta

Portanto, (R^3,+,cdot) é de fato um espaço vetorial sobre R.

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