Provar que
é um espaço vetorial.
Passo 1
Neste exercício vamos provar que
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial (fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro e inverso para a adição, além dos axiomas envolvendo multiplicação por escalar).
Passo 2
Em
definimos a soma de vetores e a multiplicação por escalar componente a componente. Assim:
Passo 3
Com essas definições fica claro que a soma e a multiplicação por escalar resultam sempre em um vetor de
, garantindo o fechamento.
Passo 4
Mostramos agora os axiomas da adição de vetores em
:
– Comutatividade: Para quaisquer , as somas componentes se comutam, logo
.
– Associatividade: Como a soma de números reais é associativa, obtemos para todo
.
– Elemento neutro: O vetor satisfaz
para todo
.
– Inverso aditivo: Para todo existe
tal que
.
– Comutatividade: Para quaisquer
– Associatividade: Como a soma de números reais é associativa, obtemos
– Elemento neutro: O vetor
– Inverso aditivo: Para todo
Passo 5
Verificamos agora os axiomas envolvendo a multiplicação por escalar:
– Distributividade em relação à soma de escalares: segue das propriedades distributivas em
.
– Distributividade em relação à soma de vetores: também decorre da distributividade real em cada componente.
– Compatibilidade com produto de escalares: por associatividade do produto real.
– Elemento neutro escalar: segue de
em cada componente.
– Distributividade em relação à soma de escalares:
– Distributividade em relação à soma de vetores:
– Compatibilidade com produto de escalares:
– Elemento neutro escalar:
Passo 6
Com isso, todos os axiomas de espaço vetorial sobre
ficam satisfeitos para
.
Resposta
Portanto,
é de fato um espaço vetorial sobre
.