Provar que existem duas potências de 3 cuja diferença é divisível por 1.997.

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente provar que existem dois expoentes inteiros 3^a - 3^b e tais que a diferença das potências de 3, ou seja
é múltipla de 1997.
Conteúdo que a gente vai usar:
  1. Noções de congruência (restos na divisão por um número).
  2. Princípio da casa dos pombos (pigeonhole principle).
  3. Propriedade de que, em módulo , só existem possíveis restos.
    A partir do Passo 2, começamos a resolver de fato, sem pular etapas.

Passo 2

Primeiro, lembra do que é congruência: dizer que dois números x equiv y pmod1997, e são congruentes módulo 1997, escrito
significa que a diferença é divisível por 1997.
Agora a gente vai olhar para várias potências de 3 e ver seus restos quando dividimos por 1997.

Passo 3

Vamos considerar a sequência de potências
3^0,;3^1,;3^2,;dots,;3^1997
Ela tem 1998 termos. Mas quando eu divido qualquer número por 1997, só existem 1997 possíveis restos: .
Pelo princípio da casa dos pombos, se eu tenho 1998 “pombos” (os meus restos de ) e só 1997 “casas” (os valores possíveis de resto), dois desses restos têm que coincidir.

Passo 4

Logo, existem dois índices 3^i equiv 3^j pmod1997 e 3^j - 3^i , com , tais que
Isso quer dizer, pela definição de congruência, que
é divisível por 1997.

Resposta

Existem, sim, dois expoentes inteiros 3^j - 3^i e (por exemplo, algum par obtido acima) tais que
é múltiplo de 1997. Prova dada pelo princípio da casa dos pombos nos restos das potências de 3 módulo 1997.

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