Provar que existem duas potências de 3 cuja diferença é divisível por 1.997.
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente provar que existem dois expoentes inteiros
e
tais que a diferença das potências de 3, ou seja
é múltipla de 1997.
Conteúdo que a gente vai usar:
Conteúdo que a gente vai usar:
- Noções de congruência (restos na divisão por um número).
- Princípio da casa dos pombos (pigeonhole principle).
- Propriedade de que, em módulo
, só existem possíveis restos.
A partir do Passo 2, começamos a resolver de fato, sem pular etapas.
Passo 2
Primeiro, lembra do que é congruência: dizer que dois números
e
são congruentes módulo 1997, escrito
significa que a diferença
é divisível por 1997.
Agora a gente vai olhar para várias potências de 3 e ver seus restos quando dividimos por 1997.
Agora a gente vai olhar para várias potências de 3 e ver seus restos quando dividimos por 1997.
Passo 3
Vamos considerar a sequência de potências
Ela tem 1998 termos. Mas quando eu divido qualquer número por 1997, só existem 1997 possíveis restos:
.
Pelo princípio da casa dos pombos, se eu tenho 1998 “pombos” (os meus restos de ) e só 1997 “casas” (os valores possíveis de resto), dois desses restos têm que coincidir.
Pelo princípio da casa dos pombos, se eu tenho 1998 “pombos” (os meus restos de
Passo 4
Logo, existem dois índices
e
, com
, tais que
Isso quer dizer, pela definição de congruência, que
é divisível por 1997.
Resposta
Existem, sim, dois expoentes inteiros
e
(por exemplo, algum par obtido acima) tais que
é múltiplo de 1997. Prova dada pelo princípio da casa dos pombos nos restos das potências de 3 módulo 1997.