Seja a um número irracional. Provar que existem infinitos números racionais r=p / q tais que |a-r|<1 / q^2.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: seja |a - r| < 1q^2 um número irracional. Preciso provar que existem infinitos racionais tais que
Isso é um resultado clássico de aproximação de irracionais por racionais (teorema de Dirichlet). Para resolver, vamos usar o princípio da casa dos pombos (pigeonhole principle) e a ideia de partes fracionárias de múltiplos de .

Passo 2

Primeiro, lembra do princípio da casa dos pombos: se você tem objetos e caixas, pelo menos uma caixa terá no mínimo 2 objetos. Aqui a gente vai “embutir” nossos números em intervalos.

Passo 3

Fixe um inteiro 0, a, 2a, dots, Na . Considere os números abaixo, todos na forma de sua parte fracionária (vou usar , sempre entre 0 e 1):
Agora, divida o intervalo em subintervalos iguais, cada um de comprimento . Como temos valores caindo nesses intervalos, por pigeonhole dois deles caem no mesmo intervalinho.

Passo 4

Digamos que l|ka - ell ar| < 1N e | (k - ell),a - m | < 1N estejam no mesmo pedaço, com l|a - pqr| = 1q,l|,q,a - pr| < 1q,1N = 1q,N . Então a distância entre eles é
Mas para algum inteiro . Logo
Defina (então ) e . Isso dá o racional e

Passo 5

Repare que, como 1q,N <= 1q^2, , temos l|a - tfracpqr| < 1q^2 . Então
e portanto
Como isso vale para qualquer que você escolha, a cada surge um racional (com ) satisfazendo a desigualdade. À medida que cresce, você vai extraindo sempre um novo par , logo há infinitas soluções.

Resposta

Existem, de fato, infinitos números racionais l|a - rr| < 1q^2 tais que

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