Seja um número irracional. Provar que existem infinitos números racionais tais que .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: seja um número irracional. Preciso provar que existem infinitos racionais tais que
Isso é um resultado clássico de aproximação de irracionais por racionais (teorema de Dirichlet). Para resolver, vamos usar o princípio da casa dos pombos (pigeonhole principle) e a ideia de partes fracionárias de múltiplos de .
Passo 2
Primeiro, lembra do princípio da casa dos pombos: se você tem objetos e caixas, pelo menos uma caixa terá no mínimo 2 objetos. Aqui a gente vai “embutir” nossos números em intervalos.
Passo 3
Fixe um inteiro . Considere os números abaixo, todos na forma de sua parte fracionária (vou usar , sempre entre 0 e 1):
Agora, divida o intervalo em subintervalos iguais, cada um de comprimento . Como temos valores caindo nesses intervalos, por pigeonhole dois deles caem no mesmo intervalinho.
Passo 4
Digamos que e estejam no mesmo pedaço, com . Então a distância entre eles é
Mas para algum inteiro . Logo
Defina (então ) e . Isso dá o racional e
Passo 5
Repare que, como 1q,N <= 1q^2, , temos l|a - tfracpqr| < 1q^2 . Então
e portanto
Como isso vale para qualquer que você escolha, a cada surge um racional (com ) satisfazendo a desigualdade. À medida que cresce, você vai extraindo sempre um novo par , logo há infinitas soluções.
Resposta
Existem, de fato, infinitos números racionais l|a - rr| < 1q^2 tais que